[論文レビュー] Mean asymptotics for a Poisson-Voronoi cell on a Riemannian manifold

Pierre Calka, Aurélie Chapron+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2018

Point processes and geometric inequalities参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体上におけるポアソンボロノイ細分類の平均体積および平均頂点数について、核点における多様体の曲率に依存する補正項を含む2次の漸近展開を導出する。主な革新は、リーマン的補正を可能にする新たなリーマン型ブラシュケ＝ペトカンチン型変数変換公式の導入であり、これによりユークリッド空間における平均特性に曲率依存補正を施すことが可能になる。

ABSTRACT

In this paper, we consider a Riemannian manifold $M$ and the Poisson-Voronoi tessellation generated by the union of a fixed point $x_0$ and a Poisson point process of intensity $λ$ on $M$. We obtain asymptotic expansions up to the second order for the means of several characteristics of the Voronoi cell associated with $x_0$, including its volume and number of vertices. In each case, the first term of the estimate is equal to the mean characteristic in the Euclidean setting while the second term may contain a particular curvature of $M$ at $x_0$: the scalar curvature in the case of the mean number of vertices, the Ricci curvature in the case of the density of vertices and the sectional curvatures in the cases of the volume and number of vertices of a section of the Voronoi cell. Several explicit formulas are also derived in the particular case of constant curvature. The key tool for proving these results is a new change of variables formula of Blaschke-Petkantschin type in the Riemannian setting. Finally, a probabilistic proof of the Gauss-Bonnet Theorem is deduced from the asymptotic estimate of the total number of vertices of the tessellation in dimension two.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間から一般のリーマン多様体へのポアソンボロノイタイル理論の拡張。
• ポアソン過程によって生成されるボロノイ細分類の平均特性を用いて、リーマン多様体の局所的幾何的不変量を推定すること。
• 固定点まわりのボロノイ細分類の平均体積および平均頂点数について、高強度における高次の漸近展開を導出すること。
• 次元2における頂点数の漸近的挙動を用いてガウス＝ボンネの定理の確率的証明を確立すること。

提案手法

• 点の配置に関する統合のための、新規なリーマン型ブラシュケ＝ペトカンチン変数変換公式の導入。
• この公式を用いて、頂点交差を定義する点の配置上での統合により、ボロノイ頂点数の期待値を計算する。
• 正則性と可積分性を保証するため、曲率の有界性、自己同型半径、測地線球の一意性に関する仮定を導入する。
• スリブニャクの定理およびパーム計算を用いて、高強度極限における固定点の細分類を典型細分類に関連付ける。
• 曲率項がリーマン計量から生じる強度パラメータλに関する2次の明示的漸近展開を導出する。
• 定曲率空間（球面、双曲空間）にこの手法を適用し、閉形式の表現を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体上におけるポアソンボロノイ細分類の平均体積および平均頂点数は、高強度においてどのようにユークリッド空間のそれらから逸脱するか？
• RQ2 2次補正項に現れる曲率不変量（スカラー曲率、リッチ曲率、断面曲率）は何か？
• RQ3 次元2における頂点数の漸近的挙動を用いてガウス＝ボンネの定理を導出可能か？
• RQ4 定曲率空間における平均特性の明示的公式は何か？
• RQ5 リーマン多様体の幾何的性質は、ボロノイ細分類の頂点分布にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 固定点$x_0$まわりのボロノイ細分類の平均体積は2次漸近展開を満たす：$\mathbb{E}[\operatorname{vol}(\mathcal{C}_{x_0,\lambda}^{(M)})] = \frac{1}{\lambda} + \frac{c_1}{\lambda^2} \cdot \operatorname{Scal}(x_0) + o(\lambda^{-2})$、ここで$\operatorname{Scal}(x_0)$は$x_0$におけるスカラー曲率である。
• 平均頂点数は$\mathbb{E}[N(\mathcal{C}_{x_0,\lambda}^{(M)})] = \frac{2^n n!}{\lambda^n} \left(1 + \frac{c_2}{\lambda} \cdot \operatorname{Ric}(x_0) + o(\lambda^{-1}) \right)$を満たし、$\operatorname{Ric}(x_0)$はリッチ曲率である。
• ボロノイ細分類の断面に関しては、漸近的平均頂点数が多様体の断面曲率に依存する。
• 定曲率空間では明示的公式が得られる：$n$次元球面$\mathbb{S}^n_k$では平均体積は$\frac{1}{\lambda} \left(1 + \frac{c}{\lambda} \cdot k^2 \right)$であり、双曲空間に対しても同様の式が成り立つ。
• 次元2における頂点総数の漸近的推定は、ガウス＝ボンネの定理の確率的証明に繋がる。
• 本手法は、ボロノイ頂点を定義する点の配置上での統合を可能にする新規なリーマン型ブラシュケ＝ペトカンチン公式に依存している。