[論文レビュー] Mean-convex sets and minimal barriers

Emanuele Spadaro|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2011

Optimization and Variational Analysis参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、与えられた集合内に境界を持つすべての最小超曲面を囲む最小のグローバルバリアとしての平均曲率凸包を導入し、次元 ≤7 において、この包が $C^{1,1}$ の境界を持ち、かつ自身が平均曲率凸であることを証明する。この特徴づけは、障害項を含む一般化された障害正則化平均曲率流れを用いて達成され、包が境界を保つ曲率流れに従って収縮するが障害を尊重するように進化する集合の漸近的極限として得られる。

ABSTRACT

A mean-convex set can be regarded as a barrier for the construction of minimal surfaces. Namely, if we are given a mean-convex set and a null-homotopic Jordan curve on its boundary, then there exists an embedded minimal disk with boundary the given curve contained in the starting mean-convex set. Does a mean-convex set contain all minimal disks with boundary on it? Does it contain the solutions of Plateau's problem? We answer this question negatively and characterize the least barrier enclosing all the minimal hypersurfaces with boundary on a given set.

研究の動機と目的

• 与えられた集合内に境界を持つすべての最小超曲面を囲む平均曲率凸集合がグローバルバリアであるかどうかを解明すること。
• すべてのこのような最小超曲面を含む最小のグローバルバリア（平均曲率凸包として定義される）を同定すること。
• 低次元におけるこの最小バリアの正則性および幾何的構造を確立すること。
• 障害制約付きの一般化された平均曲率流れを用いて、平均曲率凸包の変分的および幾何的特徴づけを提供すること。

提案手法

• すべての $\Omega$ を含むグローバルバリア $\Theta$ の共通部分として定義される平均曲率凸包 $\Omega^{mc}$ を用い、それが最小のこのような集合であることを保証する。
• 障害を含む一般化された平均曲率流れを導入：$F_t$ の進化は $\Omega$ 外部では平均曲率流れに従い、$\partial F_t \cap \Omega$ 上で平均曲率ベクトルが外向きを向いている場合にのみ停止または外向きに移動する。
• 時間離散化近似スキーム $E^{(h)}_i$ を用いて、直前の段階から得られるポテンシャル項を含むペナルティ付き面積関数を最小化する集合の列を構成する。
• $E^{(h)}_i$ がスケール $R$ における面積の $\Lambda$-最小化子であること、$\Lambda = C h^{-1}$ を示し、一様な正則性を保証する。
• 楕円型および障害問題の正則性理論を適用し、$\partial E^{(h)}_i \setminus \Sigma$ が $C^{1,1}$ であることを示し、特異点集合 $\Sigma$ のハウスドルフ次元は $n-8$ 以下であることを示す。
• $\Omega^{mc} = \lim_{t \to \infty} F_t$ が閉じた平均曲率凸集合であり、$C^{1,1}$ の境界を持ち、$\partial \Omega^{mc} \setminus \Omega$ が $\Omega$ 内に境界を持つ最小超曲面であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{R}^n$ 内の平均曲率凸集合 $\Omega$ は、境界が $\partial\Omega$ 上にあるすべての最小超曲面を含むか？
• RQ2 $\Omega$ 内に境界を持つすべての最小超曲面を含む最小グローバルバリアが存在するか？ その構造は何か？
• RQ3 最小グローバルバリアは幾何的進化過程の極限として特徴づけられるか？
• RQ4 低次元における最小グローバルバリア（平均曲率凸包）が持つ正則性特性は何か？
• RQ5 平均曲率凸包の境界は、最小曲面および元の集合 $\Omega$ とどのように関係するか？

主な発見

• 平均曲率凸包 $\Omega^{mc}$ は、$\Omega$ 内に境界を持つすべての最小超曲面の最小グローバルバリアであり、すべてのこのようなグローバルバリアの共通部分として定義される。
• $n \leq 7$ の場合、平均曲率凸包 $\Omega^{mc}$ は $C^{1,1}$ の正則境界を持ち、かつ自身が平均曲率凸集合である。
• $\Omega$ の外側の $\Omega^{mc}$ の境界、すなわち $\partial \Omega^{mc} \setminus \Omega$ は、$\Omega$ 内に境界を持つ最小超曲面である。
• 平均曲率凸包は自身の構成に対して不変である：$(\Omega^{mc})^{mc} = \Omega^{mc}$ であり、これが真の包であることを確認する。
• この構成は、障害項を含む一般化された平均曲率流れによって達成され、$t \to \infty$ のときの進化集合 $F_t$ の極限が $\Omega^{mc}$ に等しい。
• 時間離散化スキーム内の各近似集合 $E^{(h)}_i$ は、$\Lambda = C h^{-1}$ を満たす面積の $\Lambda$-最小化子であり、一様な正則性および収束を保証する。