[論文レビュー] Mean Curvature Flow of Spacelike Graphs in Pseudo-Riemannian Manifolds

Guanghan Li, Isabel M. C. Salavessa|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、コンpaktoなリーマン多様体の積として形成される擬リーマン多様体における時空的グラフの平均曲率フローを研究する。定義域多様体の断面曲率が被覆多様体のそれより優勢であるような曲率条件の下で、フローは時空的性質を保ち、すべての時間にわたって定義され、全測地的または定数写像に収束する。これは、コンパクト多様体間の写像に関するホモトピー分類結果を拡張するものである。

ABSTRACT

Abstract: Let (Σ1,g1) and (Σ2,g2) be two compact Riemannian manifolds with sectional curvatures K1 and K2 and a smooth map f: Σ1 → Σ2. On Σ1 × Σ2 we consider the pseudo-Riemannian metric g1 −g2, and assume the graph of f is a spacelike submanifold Γf. We consider the evolution of Γf in Σ1×Σ2 by mean curvature flow and show that if K1(p) ≥ max{0,K2(q)} for any p ∈ Σ1 and q ∈ Σ2 then the flow remains a spacelike graph and exists for all time and converges at infinity to the graph of a totally geodesic map. Moreover, if K1> 0 somewhere, the flow converges to the graph of a constant map. As a consequence we prove that for any arbitrary compact Riemannian manifolds Σi, i = 1,2, if K1> 0 everywhere then there exist a constant ρ ≥ 0 that depends only on K1 and K2 such that any map f: Σ1 → Σ2 with f ∗ g2 < ρ −1 g1 is homotopic to a constant one. This largely extends known results with constant Ki ′ s. 1

研究の動機と目的

• 擬リーマン多様体の積多様体における時空的グラフの平均曲率フローの進化を分析すること。
• 平均曲率フローが時空的条件を保ち、かつグラフィカルなままであるような条件を特定すること。
• フローの長期的存在性と、全測地的または定数写像への収束行動を確立すること。
• 曲率とエネルギーの上限に基づいて、コンパクトリーマン多様体間の写像に関するホモトピー分類結果を導出すること。

提案手法

• Σ1 × Σ2 にリーマン計量 g1 − g2 を備えた積多様体を考察する。
• 滑らかな写像 f: Σ1 → Σ2 の時空的グラフ Γf を埋め込まれた部分多様体として定義する。
• Γf を、周囲の擬リーマン多様体内で平均曲率フローで進化させる。
• すべての p ∈ Σ1、q ∈ Σ2 に対して K1(p) ≥ max{0, K2(q)} という曲率条件を用いて進化を制御する。
• 最大原理の議論と曲率推定を用いて、時空的性質とグラフィカル性の保存を証明する。
• 任意の写像 f が f∗g2 < ρ−1g1 を満たすとき、ρ が K1 と K2 のみに依存するならば、その写像が定数写像にホモトープであることを示すことによりホモトピー結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時空的グラフの平均曲率フローが、擬リーマン多様体の積多様体内で、常に時空的かつグラフィカルなままであるような曲率条件は何か？
• RQ2 与えられた曲率仮定の下で、平均曲率フローはすべての時間にわたって存在し、全測地的写像に収束するか？
• RQ3 Σ1 上のどこかで K1 > 0 であるとき、フローの漸近的挙動は何か？
• RQ4 これらの曲率条件を用いて、コンパクトリーマン多様体間の写像に関するホモトピー分類結果を導出できるか？
• RQ5 f∗g2 < ρ−1g1 が f が定数写像にホモトープであることを保証するような、K1 と K2 のみに依存する最適な定数 ρ は何か？

主な発見

• すべての p ∈ Σ1 および q ∈ Σ2 に対して K1(p) ≥ max{0, K2(q)} が成り立つ限り、時空的グラフ Γf の平均曲率フローは、すべての時間にわたって時空的かつグラフィカルなままである。
• 提示された曲率条件下で、フローは無限遠で全測地的写像のグラフに収束する。
• Σ1 上のどこかで K1 > 0 であれば、フローは定数写像のグラフに収束する。
• K1 が Σ1 全体で正である任意のコンパクトリーマン多様体 Σ1 と Σ2 に対して、K1 と K2 のみに依存する定数 ρ ≥ 0 が存在し、f∗g2 < ρ−1g1 を満たす任意の写像 f は定数写像にホモトープである。
• 非定数の断面曲率を許容し、明示的な曲率依存しきい値 ρ を提供する点で、従来のホモトピー分類定理を一般化している。
• K1 ≥ max{0, K2} という曲率条件は、フローの長期的存在性、グラフィカル性、収束性を保証するのに十分である。