[論文レビュー] Mean exit time and escape probability for dynamical systems driven by Levy noise

Ting Gao, Jinqiao Duan+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2012

Ecosystem dynamics and resilience参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非局所的積分微分方程式で特徴づけられる$α$-安定Lévyノイズによって駆動される確率的力学系の平均抜出し時間および脱出確率を計算する高精度な数値スキームを開発する。主な発見は、平均抜出し時間がドメインサイズおよび$α$に強く依存しており、$α$が小さいと大規模なジャンプが優勢となり、大規模ドメインからの脱出が速くなるのに対し、脱出確率はドリフトに大きく依存し、$\alpha \in (0,1)$では境界で不連続となることである。

ABSTRACT

The mean first exit time and escape probability are utilized to quantify dynamical behaviors of stochastic differential equations with non-Gaussian alpha-stable type Levy motions. Both deterministic quantities are characterized by differential-integral equations(i.e.,differential equations with non local terms) but with different exterior conditions. The non-Gaussianity of noises manifests as nonlocality at the level of mean exit time and escape probability. An objective of this paper is to make mean exit time and escape probability as efficient computational tools, to the applied probability community, for quantifying stochastic dynamics. An accurate numerical scheme is developed and validated for computing the mean exit time and escape probability. Asymptotic solution for the mean exit time is given when the pure jump measure in the Levy motion is small. From both the analytical and numerical results, it is observed that the mean exit time depends strongly on the domain size and the value of alpha in the alpha-stable Levy jump measure. The mean exit time can measure which of the two competing factors in alpha-stable Levy motion, i.e. the jump frequency or the jump size, is dominant in helping a process exit a bounded domain. The escape probability is shown to vary with the underlying vector field(i.e.,drift). The mean exit time and escape probability could become discontinuous at the boundary of the domain, when the process is subject to certain deterministic potential and the value of alpha is in (0,1).

研究の動機と目的

• 非ガウス型確率的力学系における平均抜出し時間および脱出確率のための効率的な計算フレームワークの構築。
• 特にジャンプの頻度とサイズに注目した、非ガウス型Lévyノイズが有界ドメインからの脱出行動に与える影響の分析。
• 特に小規模なジャンプ測度に対して、解析的および漸近的解との整合性を確認するための数値スキームの検証。
• ベクトル場（ドリフト）および$α$-安定Lévyパラメータが脱出可能性および抜出し時間に与える影響の調査。

提案手法

• ドリフト$f(x)$およびジャンプ測度$\nu$を伴う$α$-安定Lévy運動によって駆動される確率微分方程式でシステムをモデル化する。
• 非局所的項がLévy生成子に由来する微分積分方程式として、平均抜出し時間$u(x)$および脱出確率$P_E(x)$を定式化する。
• 原点付近のLévy測度の特異性を扱うために、数値スキームに補正項を組み込む。
• 非局所的積分項に対しては適応的台形則を用いた有限差分法を採用し、漸近的および解析的解による検証を実施する。
• 二重井戸ポテンシャル$f(x) = x - x^3$の数値シミュレーションを実施し、安定状態間の遷移確率を検討する。
• ドメインサイズ$D$、$\alpha$、ノイズ強度$\varepsilon$の変動が抜出しダイナミクスに与える影響を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 α-安定Lévy過程における$α$の値が、有界ドメインからの平均抜出し時間にどのように影響を与えるか。
• RQ2 α-安定Lévyノイズの脱出ダイナミクスを決定づける要因として、ジャンプ頻度とジャンプサイズの相対的影響は何か。
• RQ3 ドメイン補集合の標的部分集合$E$への脱出確率に、基礎となるドリフトベクトル場$f(x)$がどのように影響を与えるか。
• RQ4 平均抜出し時間または脱出確率がドメイン境界で不連続となる条件は何か。
• RQ5 ガウスノイズ（$d > 0$）を追加した場合、純粋な$α$-安定Lévy運動と比較して、平均抜出し時間および脱出確率の挙動はどのように変化するか。

主な発見

• $\alpha \in (0,1)$のとき、確定的ポテンシャルにさらされた過程では、平均抜出し時間がドメイン境界で不連続になる。
• 小さい$\alpha$値（例：$\alpha = 0.5$）は、境界から離れた領域で平均抜出し時間プロファイルが平坦になる傾向を示し、ドメインサイズよりも大規模なジャンプが優勢であることを示唆する。
• $\alpha$が2に近い場合、高頻度の小規模ジャンプにより小規模ドメインからの脱出が容易になるが、$\alpha$が0に近いと大規模ドメインからの大規模ジャンプが優勢になる。
• 脱出確率$P_E(x)$はガウスノイズ（$\alpha = 2$）で最大となり、$\alpha$が小さくなるに従い減少するが、特にドメイン中心付近の初期位置では顕著に減少する。
• $\alpha < 1$のとき、特に二重井戸ポテンシャル設定において、ドメイン左境界で脱出確率に不連続性が生じる。
• 小さなガウスノイズ（$d = 0.1$）を追加すると、$\alpha$値による脱出確率の差が小さくなり、遷移挙動が滑らかに緩和される。