[論文レビュー] Mean-Field Backward Doubly Stochastic Differential Equations and Applications

Tianxiao Wang, Qingfeng Zhu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、平均場後向き doubly stochastic 微分方程式（MF-BDSDEs）を導入し、解の存在および一意性を確立する。非局所的確率的偏微分方程式（SPDE）に対する確率的解釈を提供し、MF-BDSDEsの最適制御問題におけるPontryagin型最大原理を導出し、線形二次制御問題を用いて具体例を示す。

ABSTRACT

Mean-field backward doubly stochastic differential equations (MF-BDSDEs, for short) are introduced and studied. The existence and uniqueness of solutions for MF-BDSDEs is established. One probabilistic interpretation for the solutions to a class of nonlocal stochastic partial differential equations (SPDEs, for short) is given. A Pontryagin's type maximum principle is established for optimal control problem of MF-BDSDEs. Finally, one backward linear quadratic problem of mean-field type is discussed to illustrate the direct application of above maximum principle.

研究の動機と目的

• 平均場後向き doubly stochastic 微分方程式（MF-BDSDEs）を導入・研究し、古典的 BDSDE や MF-BSDE を拡張すること。
• 適切な条件下で、MF-BDSDE の解の存在および一意性を確立すること。
• 非局所的確率的偏微分方程式（SPDE）の解に対する確率的解釈を提供すること。
• MF-BDSDE に従う最適制御問題におけるPontryagin型最大原理を導出すること。
• 線形二次制御問題を通じて、最大原理の応用を提示すること。

提案手法

• 解とその双対過程の連合分布に依存する係数の条件付き期待値を含む方程式として、MF-BDSDE を定式化すること。
• 適切な確率的空間における不動点法および事前推定を用いて、解の存在および一意性を証明すること。
• 双対 martingale 表現および後向き確率的微積分を用いて、共役方程式および必要最適性条件を導出すること。
• 共役過程と状態および制御の摂動との積に伊藤の公式を適用し、最大原理を導出すること。
• 共役過程を含むハミルトニアン系を構築し、変分不等式を用いて最適制御を特徴付けること。
• 摂動された制御と基準制御との間のコスト関数の差を比較することで、最適性条件を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均場後向き doubly stochastic 微分方程式が、どのような条件下で一意な解をもつのか。
• RQ2 MF-BDSDE の解は、非局所的確率的偏微分方程式の解とどのように関連するのか。
• RQ3 MF-BDSDE に従う確率的制御問題における最適性の必要条件は何か。
• RQ4 MF-BDSDE に導出された最大原理は、古典的確率的制御結果をどのように一般化するのか。
• RQ5 理論的な最大原理は、具体的な制御問題（例えば線形二次問題）を解くのにも適用可能か。

主な発見

• 係数の標準的リプシッツ条件および可積分性条件のもとで、MF-BDSDE の解の存在および一意性が確立される。
• MF-BDSDE の解は、解の分布の期待値を含む非局所的 SPDE の解に対する確率的表現を提供する。
• MF-BDSDE の最適制御問題におけるPontryagin型最大原理が導出され、共役過程とハミルトニアン系が含まれる。
• 最大原理は、後向き線形二次制御問題に適用され、最適制御はハミルトニアンおよび共役方程式によって特徴付けられる。
• 摂動下でのコスト関数の差が非負であることを示すことで、最適性条件が検証され、候補制御の最適性が確認される。
• この手法により、BSDE や MF-BSDE からの古典的結果が、二重確率的かつ平均場の設定へと拡張され、確率的制御理論が豊かに拡張される。