[論文レビュー] Mean-field density of states of a small-world model and a jammed soft spheres model

M. Pernici|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2020

Material Dynamics and Properties被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ジャミング付近のソフトスフィア系における振動状態密度（DOS）を記述するため、ランダム正則グラフとスモールワールド的補助辺を組み合わせた平均場ランダムブロック行列モデルを提案する。パラメータ $ t = Z/d $ のシフトされたケステン＝マクケイDOSは、$ d=3 $ におけるボソンピークおよび低周波数プラトーを正確に捉えており、$ Z=7,8 $ の分子動力学シミュレーションと一致する。また、$ K_3 \approx 0.3 $ の条件下でイソスタティックプラトーを再現し、ランダム弾性ネットワークモデルを改善している。

ABSTRACT

We consider a class of random block matrix models in $d$ dimensions, $d \\ge 1$, motivated by the study of the vibrational density of states (DOS) of soft spheres near the isostatic point. The contact networks of average degree $Z = z_0 + \\zeta$ are represented by random $z_0$-regular graphs (only the circle graph in $d=1$ with $z_0=2$) to which Erd\\"os-Renyi graphs having a small average degree $\\zeta$ are superimposed. In the case $d=1$, for $\\zeta$ small the shifted Kesten-McKay DOS with parameter $Z$ is a mean-field solution for the DOS. Numerical simulations in the $z_0=2$ model, which is the $k=1$ Newman-Watts small-world model, and in the $z_0=3$ model lead us to conjecture that for $\\zeta \ o 0$ the cumulative function of the DOS converges uniformly to that of the shifted Kesten-McKay DOS, in an interval $[0, \\omega_0]$, with $\\omega_0 < \\sqrt{z_0-1} + 1$. For $2 \\le d \\le 4$, we introduce a cutoff parameter $K_d \\le 0.5$ modeling sphere repulsion. The case $K_d=0$ is the random elastic network case, with the DOS close to the Marchenko-Pastur DOS with parameter $t=\\frac{Z}{d}$. For $K_d$ large the DOS is close for small $\\omega$ to the shifted Kesten-McKay DOS with parameter $t=\\frac{Z}{d}$; in the isostatic case the DOS has around $\\omega=0$ the expected plateau. The boson peak frequency in $d=3$ with $K_3$ large is close to the one found in molecular dynamics simulations for $Z=7$ and $8$.

研究の動機と目的

• ジャミング遷移付近のソフトスフィア系の振動状態密度（DOS）を、ランダムブロック行列アプローチを用いてモデル化すること。
• 平均場近似を通じて、不規則固体におけるボソンピークおよび低周波数プラトーの起源を理解すること。
• 球体の反発および除外体積効果をモデル化するため、$ K_d $ という角度のカットオフを導入することで、ランダム弾性ネットワークモデルを改善すること。
• パラメータ $ t = Z/d $ のシフトされたケステン＝マクケイDOSが、ハイパースティックおよびイソスタティック領域におけるDOSの有効な平均場記述であるかどうかを検証すること。
• パラメータ $ \zeta \to 0 $ のとき、DOSがシフトされたケステン＝マクケイ形式に一様収束する条件を特定すること。

提案手法

• 平均次数 $ \zeta $ のエドーシュ＝レニー型グラフを $ z_0 $-正則グラフに重ね合わせることで、平均配置数 $ Z = z_0 + \zeta $ を持つスモールワールドネットワークを構築する。
• 球体の接触ベクトル間の角度相関を表すために、$ K_d \leq 0.5 $ のカットオフパラメータを導入し、ソフトスフィアにおける除外体積効果をモデル化する。
• システムのヘッセ行列を用いて、ランダムブロック行列のスペクトル解析を通じて振動状態密度（DOS）を計算する。
• キャビティ法および正確な固有値分解を用いて、$ 2 \leq d \leq 4 $ の範囲でDOSをシミュレートし、解析的形と比較する。
• シミュレートされたDOSを、シフトされたケステン＝マクケイ（SKM）およびマルチャンコ＝パスタール（MP）分布と比較し、特に小スケール $ \omega $ に対して注目する。
• 有効媒体近似（EMA）およびスペクトル分布モーメントを用いて、低周波数領域の挙動およびボソンピークの位置を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ $ z_0=2 $ のスモールワールドモデルにおいて、$ \zeta \to 0 $ のとき、累積DOSは一様にシフトされたケステン＝マクケイDOSに収束するか？
• RQ2 パラメータ $ t = Z/d $ のシフトされたケステン＝マクケイDOSは、特に $ d=3 $ の場合に、ジャミング付近のソフトスフィア系の振動状態密度を正確に記述できるか？
• RQ3 角度カットオフ $ K_d $ の導入が、低周波数DOSおよびプラトーまたはギャップの存在に与える影響は何か？
• RQ4 $ d=3 $ における $ Z=7,8,9 $ の場合に、予測されたボソンピーク周波数と分子動力学シミュレーションとの間の定量的整合性はどの程度か？
• RQ5 モデルは $ \omega=0 $ におけるイソスタティックプラトーを再現できるか？ また、シミュレーションデータと最も一致する $ K_3 $ の値は何か？

主な発見

• $ d=1 $ の場合、パラメータ $ Z $ のシフトされたケステン＝マクケイDOSは平均場解であり、$ \zeta \to 0 $ のとき、区間 $[0, \omega_0]$ 内で累積DOSが一様に収束する。ただし $ \omega_0 < \sqrt{z_0 - 1} + 1 $ である。
• ニューマン＝ウォウズのスモールワールドモデル（$ z_0=2 $）において、数値的シミュレーションは、$ \zeta \to 0 $ の極限でDOSが一様にSKM DOSに収束するという予想を支持する。
• $ 2 \leq d \leq 4 $ において、$ K_d $ が大きい場合、小スケール $ \omega $ におけるDOSは、パラメータ $ t = Z/d $ のSKM DOSとよく一致する。特にイソスタティック状態において顕著である。
• $ d=3 $ において、SKM DOSが予測するボソンピーク周波数は、$ Z=7 $ および $ 8 $ の分子動力学シミュレーションとよく一致しており、$ Z=9 $ ではわずか4%の差にとどまる。
• イソスタティックプラトー（$ \omega=0 $）は $ K_3 \approx 0.3 $ の条件下で良好に再現され、分子動力学シミュレーションで観測された高さと一致する。
• 大きな $ K_d $ の場合、DOSは $ \omega=0 $ の周囲にギャップを示すが、SKM DOSほどは大きくない。その結果、$ D(\omega) \sim \omega^4 $ の関係は成り立たず、$ K_d=0 $（ランダム弾性ネットワーク）のケースとは異なっている。