[論文レビュー] Mean Field description of and propagation of chaos in recurrent multipopulation networks of Hodgkin-Huxley and Fitzhugh-Nagumo neurons

Javier Baladron, Diego Fasoli+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2011

Neural dynamics and brain function参考文献 46被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、多数の相互作用するヒルキン・フックスおよびフィッツフュー・ナグumoニューロンで構成される複数の集団を持つ大規模ネットワークについて、平均場方程式を厳密に導出し、無限大サイズの極限において有限なニューロン部分集合が独立することを示す「混沌の伝播」を証明している。得られた非線形確率微分方程式および非局所的フォッカー・プランク方程式は、解が適切に定義されており、中程度のネットワークサイズに対しても数値的に妥当であることを示している。

ABSTRACT

We derive the mean-field equations arising as the limit of a network of interacting spiking neurons, as the number of neurons goes to infinity. The neurons belong to a fixed number of populations and are represented either by the Hodgkin-Huxley model or by one of its simplified version, the Fitzhugh-Nagumo model. The synapses between neurons are either electrical or chemical. The network is assumed to be fully connected. The maximum conductances vary randomly. Under the condition that all neurons initial conditions are drawn independently from the same law that depends only on the population they belong to, we prove that a propagation of chaos phenomenon takes places, namely that in the mean-field limit, any finite number of neurons become independent and, within each population, have the same probability distribution. This probability distribution is solution of a set of implicit equations, either nonlinear stochastic differential equations resembling the McKean-Vlasov equations, or non-local partial differential equations resembling the McKean-Vlasov-Fokker- Planck equations. We prove the well-posedness of these equations, i.e. the existence and uniqueness of a solution. We also show the results of some preliminary numerical experiments that indicate that the mean-field equations are a good representation of the mean activity of a finite size network, even for modest sizes. These experiment also indicate that the McKean-Vlasov-Fokker- Planck equations may be a good way to understand the mean-field dynamics through, e.g., a bifurcation analysis.

研究の動機と目的

• 生物物理学的に現実的なモデルを用いた再帰的多集団スパイクニューロンネットワークの平均場極限を導出すること。
• このようなネットワークにおける混沌の伝播を厳密に証明し、無限大サイズの極限においてニューロンが独立かつ同一分布に従うことを示すこと。
• 得られたMcKean-Vlasov型方程式およびそのフォッカー・プランク型対応方程式の適切な定義（well-posedness）を確立すること。
• 平均場近似を数値的に検証し、有限で中程度のサイズのネットワークに対してもその正確性を示すこと。
• 統計物理学および確率過程を用いた神経集団動態の分析のための数学的枠組みを提供すること。

提案手法

• 各集団内での同分布初期条件を仮定し、ニューロン数が無限大に近づく極限過程を用いて平均場方程式を導出する。
• 局所的リプシッツ連続係数およびリャプノフ型成長条件を用い、古典的なMcKean-Vlasov理論をスパイクニューロンモデルに拡張する。
• ワサーライン距離および大偏差技法を用いて、ネットワーク全体における混沌の伝播を証明する。
• 得られた非線形SDEおよび非局所的フォッカー・プランク方程式の解の存在および一意性を確立する。
• バーグハウザー＝デイヴィス＝ギュンディーおよびフビーニ型の議論を用いて、フラクチュエーションを制御し、$1/\text{N}_{\text{min}}$ のレートで収束することを示す。
• 有限ネットワークの活動と平均場解との間の数値実験を実施し、中程度の$N$に対しても正確性が確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルキン・フックスおよびフィッツフュー・ナグモニューロンで構成される大規模な再帰的ネットワークの巨視的挙動を平均場極限が正確に記述できるか？
• RQ2 異種で相互作用するニューロンを有する多集団ネットワークにおいて、混沌の伝播がどのような条件下で成立するか？
• RQ3 導出されたMcKean-Vlasov型SDEおよびフォッカー・プランク方程式は適切に定義されており、一意な解を持つのか？
• RQ4 平均場方程式は、有限サイズのネットワークの統計的挙動を、わずかに数十ニューロン程度の数でも捉えることができるか？
• RQ5 有限ネットワークから平均場極限への収束レートは定量的に境界づけられており、$1/\sqrt{N}$ のスケーリングに従うか？

主な発見

• 平均場極限は、McKean-Vlasov方程式に類似した非線形確率微分方程式系として記述され、一意な解を持つ適切に定義された方程式である。
• 混沌の伝播が厳密に証明された：無限大サイズの極限において、任意の有限個のニューロンは各集団内で独立かつ同一分布に従う。
• 有限ネットワークが平均場極限に収束するレートは、$K_3 / N_{\text{min}}$ で境界づけられており、$N_{\text{min}}$ は最小の集団サイズを表す。
• 数値実験により、平均場方程式が有限ネットワークの平均活動を正確に再現することが確認された。$N \approx 100$ ニューロンの規模でも成立している。
• 平均場極限から導出された非局所的フォッカー・プランク方程式は、分岐解析や力学系の研究に適している。
• 標準的なグローバルリプシッツ仮定を克服し、局所的リプシッツ連続性と非線形相互作用を持つスパイクニューロンモデルに古典的平均場理論を拡張した枠組みを提供した。