[論文レビュー] Mean-field equations for stochastic neural fields with spatio-temporal delays

Jonathan Touboul|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2011

stochastic dynamics and bifurcation被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、空間的・時間的遅れを伴う確率的ニューラルフィールドに対して、中間スケールニューラルフィールド極限を用いて平均場方程式を導出し、弱い条件下でも混沌の伝播が成立することを証明する。得られた方程式は、非局所的平均場項と特異な空間的・時間的ブラウン運動を有する、適切に定義された無限次元の遅れ付き積分微分方程式であり、特定のモデルでは、完全に決定論的な非線形遅れ付き方程式に簡略化される。

ABSTRACT

We consider the problem of the limit of bio-inspired spatially extended neuronal networks including an infinite number of neuronal types (space locations), with space-dependent propagation delays modeling neural fields. The propagation of chaos property is proved in this setting under mild assumptions on the neuronal dynamics, valid for most models used in neuroscience, in a mesoscopic limit, the neural-field limit, in which we can resolve the quite fine structure of the neuron's activity in space and where averaging effects occur. The mean-field equations obtained are of a new type: they take the form of well-posed infinite-dimensional delayed integro-differential equations with a nonlocal mean-field term and a singular spatio-temporal Brownian motion. We also show how these intricate equations can be used in practice to uncover mathematically the precise mesoscopic dynamics of the neural field in a particular model where the mean-field equations exactly reduce to deterministic nonlinear delayed integro-differential equations. These results have several theoretical implications in neuroscience we review in the discussion.

研究の動機と目的

• 空間依存の遅れと多様なニューロン型を有する無限大ニューロンネットワークの厳密な平均場極限を確立すること。
• ニューロンダイナミクスに弱い仮定を置いた場合の、このようなネットワークにおける混沌の伝播を分析すること。
• 非局所的平均場項を有する新しいクラスの無限次元遅れ付き積分微分方程式を導出し、特徴づけること。
• 特定のモデルにおいて、導出された方程式が決定論的な遅れ付き積分微分方程式に正確に還元されることを示し、実用的適用可能性を示すこと。
• 神経科学における中間スケールニューラルダイナミクスのモデリングに対する理論的含意を探索すること。

提案手法

• 無限大のニューロン型（空間的位置）を有する空間拡張型ニューロンネットワークのニューラルフィールド極限を形式化すること。
• 現実の神経伝達遅れをモデル化するため、ネットワークダイナミクスに空間依存の伝播遅れを組み込むこと。
• ニューロンダイナミクスに弱い仮定を置いたもとで、混沌の伝播を応用して平均場極限を導出すること。
• 非局所的相互作用を有する無限次元的・遅れ付き・確率的積分微分方程式として平均場方程式を導出すること。
• 中間スケールのノイズ効果を捉えるために、特異な空間的・時間的ブラウン運動項を導入すること。
• 特定のモデルにおいて、確率的平均場方程式が完全に決定論的な非線形遅れ付き積分微分方程式に還元されることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的・時間的遅れを伴う無限大ニューロンネットワークにおいて、混沌の伝播が成立する条件は何か？
• RQ2 空間依存の遅れを伴う確率的ニューラルフィールドの平均場極限の形は何か？
• RQ3 導出された平均場方程式において、非局所的平均場項と特異な空間的・時間的ノイズはどのように相互作用するか？
• RQ4 どのような場合に、確率的平均場方程式が決定論的な遅れ付き積分微分方程式に還元されるか？
• RQ5 これらの平均場方程式は、中間スケールニューラルダイナミクスのモデリングにどのような理論的含意をもたらすか？

主な発見

• 空間依存の遅れを伴う多様なニューロンダイナミクスの広いクラスにおいて、ニューラルフィールド極限のもとで混沌の伝播が厳密に証明された。
• 導出された平均場方程式は、非局所的平均場項を有する適切に定義された無限次元の遅れ付き積分微分方程式である。
• 方程式は、神経活動における中間スケールのノイズを反映する特異な空間的・時間的ブラウン運動を組み込んでいる。
• 特定のモデルにおいて、確率的平均場方程式は完全に決定論的な非線形遅れ付き積分微分方程式に還元される。
• この枠組みは、神経科学における中間スケールニューラルダイナミクスの数学的に正確な記述を提供し、神経科学における理論的分析を深めることが可能になる。