[論文レビュー] Mean Field Exponential Utility Game: A Probabilistic Approach

Guanxing Fu, Xizhi Su+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2020

Economic theories and models参考文献 36被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、個々のショックと共通ショックの両方によって駆動される2つのリスク資産を管理するN人プレイヤーおよび平均場の指数的効用ゲームを研究しており、終端資産と相対的パフォーマンスの両方を最適化する。確率的手法を用いて、N人プレイヤーのゲームに対して二次的成長を示す多次元FBSDEの適切な定義を確立し、平均場極限に対して平均場FBSDEを導出し、N→∞における均衡の収束を証明する。

ABSTRACT

We study an $N$-player and a mean field exponential utility game. Each player manages two stocks; one is driven by an individual shock and the other is driven by a common shock. Moreover, each player is concerned not only with her own terminal wealth but also with the relative performance of her competitors. We use the probabilistic approach to study these two games. We show the unique equilibrium of the $N$-player game and the mean field game can be characterized by a novel multi-dimensional FBSDE with quadratic growth and a novel mean-field FBSDEs, respectively. The well-posedness result and the convergence result are established.

研究の動機と目的

• 確率的市場動態下で、絶対的パフォーマンスと相対的パフォーマンスの両方を最適化する平均場指数的効用ゲームを分析すること。
• 二次的成長と有界でない終端条件を持つ、新規の多次元FBSDEを用いて、N人プレイヤーのゲームの唯一のナッシュ均衡を特徴付けること。
• 相対的パフォーマンス要因θに関する弱い仮定の下で、平均場ゲームにおける均衡の存在と一意性を、新規の平均場FBSDEを用いて確立すること。
• N→∞のとき、N人プレイヤーの均衡が平均場均衡に収束することを証明すること。
• リターンレートがノイズに依存しない場合に、定数または決定論的設定を超えた閉形式解を導出すること。

提案手法

• 各プレイヤーが個別および共通のブラウン運動によって駆動される2つのリスク資産を管理する、相対的パフォーマンスインcentiveを有する指数的効用を用いて、N人プレイヤーのゲームおよび平均場ゲームを定式化すること。
• 動的計画法とは異なり、マルティングルール最適性原理を用いて、均衡の前向き後向き確率微分方程式（FBSDE）的特徴付けを導出すること。
• 確率的手法とBMO推定を用いて、二次的成長と可能に有界でない終端条件を持つ多次元FBSDEの適切な定義を確立すること。
• 一様有界性およびBMO推定を活用して、L²空間におけるポートフォリオ戦略および資産の過程の差分を分析することにより、N人プレイヤーの均衡が平均場均衡に収束することを証明すること。
• 相対的パフォーマンス要因θに関する弱い仮定の下で、平均場FBSDEを解き、θが可測かつ最大のσ代数に属するような弱い相互作用（小さなθ）を許容すること。
• リターンレートが基礎となるノイズに依存しない場合に、FBSDEの明示的解を用いて閉形式解を導出し、均衡条件との整合性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対的パフォーマンスインセンティブを有するN人プレイヤーの指数的効用ゲームの唯一のナッシュ均衡は、非マルコフ的かつ非定数設定においてどのように特徴付けられるか？
• RQ2 N→∞のとき、N人プレイヤーのゲーム均衡と平均場ゲーム均衡の関係は何か？収束は成立するか？
• RQ3 ゲームから生じる平均場FBSDEは、相対的パフォーマンス要因θに関する一般仮定の下で、グローバルに解けるか？
• RQ4 定数または決定論的係数を超えた設定において、N人プレイヤーおよび平均場ゲームの両方の閉形式解が得られる条件は何か？
• RQ5 特にマルティングルール最適性原理を用いた確率的手法が、動的計画法と比較して均衡を特徴付ける際に果たす役割は何か？

主な発見

• N人プレイヤーのゲームの唯一の均衡は、二次的成長と有界でない終端条件を持つ新規の多次元FBSDEによって特徴付けられ、BMOおよびL²可積分性を満たす適応過程の空間においてその適切な定義が確立されている。
• 平均場ゲームの均衡は、新規の平均場FBSDEによって特徴付けられ、相対的パフォーマンス要因θに関する弱い仮定の下で、そのグローバルな適切な定義が証明されている。
• N→∞のとき、N人プレイヤーの均衡はL²空間において平均場均衡に収束し、収束速度はθおよびボラティリティ係数の有界性に依存する。
• リターンレートが基礎ノイズに依存しない場合、N人プレイヤーおよび平均場ゲームの両方に対して閉形式解が導出され、定数または決定論的設定を超えた既存の結果が拡張されている。
• ポートフォリオ戦略および資産の過程の収束結果が確立され、Nが増加するにつれて均衡戦略の差がL²空間で消えることが示されている。
• 主な技術的貢献として、ドライバーの平方根のBMO可積分性の下で、二次的成長と有界でない終端条件を持つBSDEの存在および一意性の証明がなされ、これがFBSDEの制御に用いられている。