[論文レビュー] Mean field games with common noise

René Carmona, François Delarue+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、共通ノイズを伴う平均場ゲームの一般理論を確立し、強い解と弱い解を定義し、広範な条件下で弱解の存在を証明する。さらに、追加の正則性および非退化性条件を満たす場合に、強い解の存在と一意性を示すためにヤマダ＝ワタナベの結果を拡張し、相関するノイズを伴う確率的平均場ゲームの厳密な基礎を提供する。

ABSTRACT

A theory of existence and uniqueness is developed for general stochastic differential mean field games with common noise. The concepts of strong and weak solutions are introduced in analogy with the theory of stochastic differential equations, and existence of weak solutions for mean field games is shown to hold under very general assumptions. Examples and counter-examples are provided to enlighten the underpinnings of the existence theory. Finally, an analog of the famous result of Yamada and Watanabe is derived, and it is used to prove existence and uniqueness of a strong solution under additional assumptions.

研究の動機と目的

• 共通ノイズを伴う確率的確率微分方程式平均場ゲームの包括的な存在・一意性理論の構築。
• 確率的微分方程式と同様に、平均場ゲームの文脈における強解と弱解の概念を形式化すること。
• 非退化拡散および可測係数を含む、非常に一般な仮定の下で弱解の存在を確立すること。
• 古典的なヤマダ＝ワタナベの結果を平均場ゲームに拡張し、追加の正則性条件を満たす場合に強解の一意性を導くこと。
• 存在理論の境界と主要仮定の必要性を明確にするために、例と反例を提示すること。

提案手法

• 共通ノイズの存在により、極限的な環境が確率的測度の流れである平均場ゲームの定式化を導入する。
• 弱解を、共通ノイズに関して状態過程の分布が条件づけられた、前向き・後向き確率微分方程式の結合系の解として定義する。
• 弱解が存在し、係数が特定のパスワイズ一意性および非退化性条件を満たす場合、強解が存在し一意であることをヤマダ＝ワタナベ型の議論により示す。
• 条件付き分布の取り扱いに、可測選択定理と区分定数制御による近似を用いる。
• 条件付き独立性と可測選択定理に基づく再帰的近似スキームを用いて、弱収束する近似制御列を構成する。
• 共通ノイズと個別的ノイズの間の条件付き独立性構造を活用し、弱解の構成において制御則を状態過程から分離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共通ノイズを伴う平均場ゲームにおける弱解が存在する一般的条件は何か？
• RQ2 ヤマダ＝ワタナベの原理を平均場ゲームの文脈に拡張できるか？ これにより、パスワイズ一意性と強解の存在が保証されるか？
• RQ3 共通ノイズは、N人プレーヤーの確率的微分ゲームの極限挙動にどのような役割を果たすか？
• RQ4 係数に関する仮定（例：リプシッツ連続性、非退化性）は、解の存在と一意性にどのように影響するか？
• RQ5 このクラスの平均場ゲームにおける弱解の存在に必要な最小限の正則性条件は何か？

主な発見

• 共通ノイズを伴う平均場ゲームの弱解は、可測係数および非退化拡散係数を含む非常に一般な仮定の下で存在する。
• 係数が状態および測度変数に関してのみ可測であっても、ややきつい成長および可積分性条件を満たせば、弱解の存在が保証される。
• 係数がリプシッツ連続であり、共通ノイズに関連する拡散係数が非退化であれば、強解が存在し一意である。
• ヤマダ＝ワタナベ型の結果が平均場ゲームの文脈に拡張され、前向きSDEのパスワイズ一意性が強解の一意性を示すことを示した。
• 共通ノイズの存在下では、極限環境は決定的ではなく、確率的測度の流れである。これは共通ノイズが平均化されない性質に起因する。
• 反例により、共通ノイズの拡散係数の非退化性条件が強解の一意性に不可欠であることが示され、この条件が欠落すると、他の条件が有利であっても複数の解が存在する可能性がある。