[論文レビュー] Mean first passage time for a Markovian jumping process

A. Kamińska, T. Srokowski|ArXiv.org|Oct 15, 2007

Diffusion and Search Dynamics参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、位置に依存する待ち時間と2つの吸収境界を持つ1次元のマコフ過程における平均通過時間（MFPT）を調査する。境界条件を伴うフォッカー・プランク方程式を解くことで、空間的に変化する捕獲のため、サブディファージョン領域においてもMFPTが有限のままであることが示され、通常の非結合連続時間ランダムウォーク（CTRW）モデルにおける無限大のMFPTとは対照的である。

ABSTRACT

We consider a Markovian jumping process with two absorbing barriers, for which the waiting-time distribution involves a position-dependent coefficient. We solve the Fokker-Planck equation with boundary conditions and calculate the mean first passage time (MFPT) which appears always finite, also for the subdiffusive case. Then, for the case of the jumping-size distribution in form of the Lévy distribution, we determine the probability density distributions and MFPT by means of numerical simulations. Dependence of the results on process parameters, as well as on the Lévy distribution width, is discussed.

研究の動機と目的

• 従来の拡散モデルが失敗するような、空間的に不均一なダイナミクスを示す閉じた系における輸送をモデル化すること。
• 非結合連続時間ランダムウォーク（CTRW）モデルにおける無限大のMFPTというパラドックスを、位置に依存する待ち時間の導入によって解消すること。
• レヴィ飛行のジャンプ分布と系のパラメータが、有界領域内でのMFPTと確率密度の尾部に与える影響を検討すること。
• 空間的不均一性を考慮した場合、サブディファージョン行動であってもMFPTが有限のままであることを確立すること。
• 有限で不均一な系における異常熱伝導の物理的に現実的なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 空間的不均一性をモデル化するため、位置に依存する待ち時間率 $\nu(x) = |x|^{-\theta}$（$\theta > -1$）を有するマコフ跳躍過程を定式化する。
• 空間的依存性 $\nu(x)$ とジャンプサイズ分布 $Q(x)$ を組み込んだ確率密度 $p(x,t)$ に対するマスター方程式を導出する。
• 境界 $x=0$ と $x=L$ に吸収境界条件を課した、マスター方程式から導かれるフォッカー・プランク方程式を解く。
• レヴィ安定分布（指数 $\mu$）を用いたジャンプ分布に対して、MFPT を数値的に計算し、$p(x,t)$ の尾部挙動を分析する。
• MFPT を決定づける要因として、レヴィ指数 $\mu$、ジャンプ分布の広がりパラメータ $\sigma$、および指数 $\theta$ の相乗的な影響を調査する。
• 有限系サイズの影響を評価するため、無限大の系との比較を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位置に依存する待ち時間率 $\nu(x) = |x|^{-\theta}$ が、有界領域内での平均通過時間（MFPT）の有限性に与える影響は何か？
• RQ2 ジャンプサイズ分布がレヴィ安定分布である場合、吸収境界付近での確率密度分布 $p(x,t)$ の挙動はいかなるものか？
• RQ3 ジャンプ分布のレヴィ指数 $\mu$ と広がりパラメータ $\sigma$ は、MFPT とパワーロー尾部の出現にどのように影響を与えるか？
• RQ4 長時間の待ち時間が続くにもかかわらず、なぜサブディファージョン領域においてもMFPTが有限のままであるのか。空間的不均一性はどのように無限大のMFPTパラドックスを解消するのか？
• RQ5 系の境界は、無限大の系と比較して、$p(x,t)$ の漸近的パワーロー挙動をどの程度変化させるか？

主な発見

• すべての $\theta$ および $\mu$ の値において、MFPT は有限であり、特に大距離での捕獲の弱体化のおかげである。
• レヴィジャンプ分布が狭い場合（$\sigma$ が小さい）、境界付近での $p(x,t)$ の尾部は、$\sim x^{-1-\mu}$ のパワーロー形式に従い、無限大の系と一致する。
• ジャンプ分布が広い場合（$\sigma$ が大きい）、パワーロー尾部は抑制され、MFPT はレヴィ指数 $\mu$ にほとんど依存しなくなる。
• MFPT は $\theta$ が増加するにつれて増加し、これは大距離での強い捕獲を反映している。この依存関係は、$\mu$ が大きい（近似的にガウス型ジャンプ）場合に顕著である。
• $\sigma$ が小さい場合には、MFPT は $\mu$ に対して指数関数的依存を示し、系が閉じている場合にジャンプ長の統計的特性に強く敏感であることを示している。
• $\theta$ を通じたサブディファージョンからスーパーディファージョンへの遷移は滑らかであり、$\theta < 0$ であってもMFPTに特異性を生じさせない。