[論文レビュー] Mean Li-Yorke chaos in Banach spaces

Nilson C. Bernardes, A. Bonilla+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2018

Advanced Banach Space Theory参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、バナッハ空間における平均リ・ヨルク混合状態が、絶対的平均不規則ベクトルの存在によって特徴づけられることを確立しており、これはDC2型の分布的混合状態とは区別される。また、絶対的ケゼロ有界作用素は平均リ・ヨルク混合状態にはなり得ないことを証明し、稠密および一般な平均リ・ヨルク混合状態の基準を提示しており、超循環的かつ可逆な作用素の完全な平均不規則な力学的挙動を含む例も示している。

ABSTRACT

We investigate the notion of mean Li-Yorke chaos for operators on Banach spaces. We show that it differs from the notion of distributional chaos of type 2, contrary to what happens in the context of topological dynamics on compact metric spaces. We prove that an operator is mean Li-Yorke chaotic if and only if it has an absolutely mean irregular vector. As a consequence, absolutely Cesàro bounded operators are never mean Li-Yorke chaotic. Dense mean Li-Yorke chaos is shown to be equivalent to the existence of a dense (or residual) set of absolutely mean irregular vectors. As a consequence, every mean Li-Yorke chaotic operator is densely mean Li-Yorke chaotic on some infinite-dimensional closed invariant subspace. A (Dense) Mean Li-Yorke Chaos Criterion and a sufficient condition for the existence of a dense absolutely mean irregular manifold are also obtained. Moreover, we construct an example of an invertible hypercyclic operator $T$ such that every nonzero vector is absolutely mean irregular for both $T$ and $T^{-1}$. Several other examples are also presented. Finally, mean Li-Yorke chaos is also investigated for $C_0$-semigroups of operators on Banach spaces.

研究の動機と目的

• バナッハ空間作用素における平均リ・ヨルク混合状態と分布的混合状態の関係を明確にし、特にDC2とは区別すること。
• 絶対的平均不規則ベクトルの存在によって平均リ・ヨルク混合状態を特徴づけること。
• 平均リ・ヨルク混合状態が稠密または一般であるような条件を確立し、そのようなベクトルの稠密集合の基準を含むこと。
• $C_0$-半群が平均リ・ヨルク混合状態においてどのように振る舞うかを調査し、離散作用素からの結果を拡張すること。
• 超循環的または混合的だが平均リ・ヨルク混合状態でない、あるいは逆に平均リ・ヨルク混合状態だが超循環的でない作用素や半群の例を構成すること。

提案手法

• 絶対的平均不規則ベクトルの概念を導入：$x$ が $\liminf_{N\to\infty} \frac{1}{N}\sum_{j=1}^N \|T^j x\| = 0$ かつ $\limsup_{N\to\infty} \frac{1}{N}\sum_{j=1}^N \|T^j x\| = \infty$ を満たすベクトルであることを定義。
• 作用素が平均リ・ヨルク混合状態であるための必要十分条件として、少なくとも一つの絶対的平均不規則ベクトルが存在することを証明。
• 平均リ・ヨルク混合状態基準を用いて、このようなベクトルの稠密集合を持つ作用素を同定。
• バナッハのカテゴリ定理を適用し、稠密な平均リ・ヨルク混合状態が、絶対的平均不規則ベクトルの稠密（または残渣的）集合の存在と同値であることを示す。
• 単一加重後退シフトに対して二分法を構築：すべての軌道がゼロのケゼロ平均を持つ、または稠密な絶対的平均不規則多様体が存在する。
• 適切な重みを用いた $L^p$ 空間上の共役および重み付き移動作用素を用いて、$C_0$-半群へ応用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト距離空間とは異なり、バナッハ空間において平均リ・ヨルク混合状態はDC2と同値であるか？
• RQ2 絶対的ケゼロ有界作用素が平均リ・ヨルク混合状態を示せるか？
• RQ3 平均リ・ヨルク混合状態作用素が、絶対的平均不規則ベクトルの稠密集合をもつのはどのような条件下か？
• RQ4 $C_0$-半群が分布的混合状態でない限り、平均リ・ヨルク混合状態にはなり得ないか？
• RQ5 超循環的で、かつ $T$ と $T^{-1}$ の両方が完全に絶対的平均不規則な作用素は存在するか？

主な発見

• 平均リ・ヨルク混合状態は、コンパクト距離空間とは異なり、バナッハ空間ではDC2と同値でない。
• 作用素が平均リ・ヨルク混合状態であるための必要十分条件は、少なくとも一つの絶対的平均不規則ベクトルが存在することである。
• 絶対的ケゼロ有界作用素は、常に平均リ・ヨルク混合状態にはなり得ない。なぜなら、そのような作用素ではケゼロ平均が有界なベクトルしか持てないからである。
• 稠密な平均リ・ヨルク混合状態は、絶対的平均不規則ベクトルの稠密（または残渣的）集合の存在と同値である。
• すべての平均リ・ヨルク混合状態作用素は、ある無限次元閉 $T$-不変部分空間上で稠密に平均リ・ヨルク混合状態である。
• $L^p(1,\infty)$ 上に、混合的で絶対的ケゼロ有界な $C_0$-半群で、平均リ・ヨルク混合状態でないものが存在する。また、分布的混合状態だが平均リ・ヨルク混合状態でない $C_0$-半群の例も存在する。