[論文レビュー] Mean-parametrized Conway-Maxwell-Poisson regression models for dispersed counts

Alan Huang|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2016

Statistical Methods and Bayesian Inference被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、対数線形リンクを用いて度数データの平均を直接モデル化する平均パrameter化されたコンウェイ・マクスウェル・ポアソン（CMP）回帰モデルを導入し、従来のCMPモデルの主な制限を克服する。このアプローチにより、標準的な度数回帰モデルとの直接的な互換性が得られ、解釈性が向上し、MATLABにおける計算が従来のソフトウェア比最大10倍速くなる。また、有限標本性能は強く、漸近的効率性を示す。

ABSTRACT

Conway-Maxwell-Poisson (CMP) distributions are flexible generalizations of the Poisson distribution for modelling overdispersed or underdispersed counts. The main hindrance to their wider use in practice seems to be the inability to directly model the mean of counts, making them not compatible with nor comparable to competing count regression models, such as the log-linear Poisson, negative-binomial or generalized Poisson regression models. This note illustrates how CMP distributions can be parametrized via the mean, so that simpler and more easily-interpretable mean-models can be used, such as a log-linear model. Other link functions are also available, of course. In addition to establishing attractive theoretical and asymptotic properties of the proposed model, its good finite-sample performance is exhibited through various examples and a simulation study based on real datasets. Moreover, the MATLAB routine to fit the model to data is demonstrated to be up to an order of magnitude faster than the current software to fit standard CMP models, and over two orders of magnitude faster than the recently proposed hyper-Poisson model.

研究の動機と目的

• コンウェイ・マクスウェル・ポアソン（CMP）分布における直接的な平均パrameter化の欠如に対処すること。これは、回帰モデリングにおけるその利用を制限している。
• CMPモデルが、ポアソン、負の二項分布、一般化ポアソンといった標準的な度数回帰モデルと直接的に比較可能かつ互換可能であるようにすること。
• 対数リンクなどのリンク関数を通じて平均を直接モデル化できるようにすることで、CMPモデルの解釈性と実用的採用を向上させること。
• 提案されたMATLAB実装が、CMPおよびハイパーポアソンモデルの既存のRパッケージと比較して優れた計算効率を示すことを示すこと。
• 新しい平均パrameter化フレームワークの理論的性質、特に漸近正規性およびスコア関数の導出を確立すること。

提案手法

• 率λの代わりに平均μを用いてCMP分布をパラメータ化し、対数リンクなどのリンク関数を通じて期待度数を直接モデル化可能にする。
• 平均μのためのスコア関数をSμ = (Y − μ)/V(μ, ν)として導出。ここでV(μ, ν)は分散であり、一貫性のある推定を保証する。
• 分散パrameterνのためのスコア関数をSν = A(μ, ν)(Y − μ)/V(μ, ν) − [log(Y!) − B(μ, ν)]として導出。ここでAおよびBは条件付き期待値として定義される。
• νの最尤推定量（MLE）をモーメントマッチング方程式(1/n)Σlog(Yi!) = B(Ȳ, ν)により特徴付ける。
• μ = μ(Xᵀβ)およびν = ν(𝐗̃ᵀγ)をモデル化することでフレームワークを回帰に拡張し、β̂およびγ̂の同時漸近正規性を確立。
• 従来のCOMPoissonReg Rパッケージより最大10倍速く、ハイパーポアソン実装より100倍以上速い、計算効率の高いMATLABルーチンを開発。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンウェイ・マクスウェル・ポアソン分布をその平均を直接パラメータ化することで、回帰モデルにおける解釈性を向上させることができるか？
• RQ2 有限標本における精度と計算速度の観点から、平均パrameter化CMPモデルは、既存の度数回帰モデルと比較してどのように性能を発揮するか？
• RQ3 平均パrameter化CMPモデルの理論的性質、特に漸近正規性およびスコア関数の構造は何か？
• RQ4 提案されたモデルは、過分散および低分散の両方を効果的に扱いながら、計算効率を維持できるか？
• RQ5 MATLAB実装の計算パフォーマンスは、CMPおよびハイパーポアソンモデルの既存ソフトウェアと比較してどうか？

主な発見

• 平均パrameter化CMPモデルにより、対数線形リンクを通じて平均を直接モデル化でき、ポアソン、負の二項分布、一般化ポアソン回帰モデルと直接比較可能になる。
• 提案されたMATLABルーチンは、標準CMPモデルに対して、最先端のCOMPoissonReg Rパッケージと比較して最大10倍速い。
• MATLAB実装は、最近提案されたハイパーポアソンモデルのR実装と比較して100倍以上速く、顕著な計算的優位性を示す。
• シミュレーションスタディおよび実データ例（買収提案や衝突回数の分析など）において、良好な有限標本性能を達成する。
• 理論的導出により、平均および分散パラメータの最尤推定量の漸近正規性が確認され、その漸近分散の明示的表現が得られた。
• 平均のためのスコア関数はSμ = (Y − μ)/V(μ, ν)であり、推定を単純化し、正しいモデル仕様下で不偏性を保証する。