[論文レビュー] Mean-Payoff Pushdown Games

Krishnendu Chatterjee, Yaron Velner|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2012

Formal Methods in Verification参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、プッシュダウンゲームにおける平均報酬目的関数について、包括的な研究を初めて行ったものであり、グローバル戦略およびモジュラー戦略の両方における計算複雑性の上限を確立している。1人プレイヤーのプッシュダウンゲームにおいて、グローバル戦略を用いた平均報酬目的関数は多項式時間で解けるが、2人プレイヤーのゲームではグローバル戦略を用いる場合、決定不能である。一方、モジュラー戦略を用いる場合、1人および2人プレイヤーの両方のゲームはNP完全であり、メモリレスなモジュラー戦略が十分であり、グローバル戦略では無限の記憶が必要である。

ABSTRACT

Two-player games on graphs is central in many problems in formal verification and program analysis such as synthesis and verification of open systems. In this work we consider solving recursive game graphs (or pushdown game graphs) that can model the control flow of sequential programs with recursion. While pushdown games have been studied before with qualitative objectives, such as reachability and $ω$-regular objectives, in this work we study for the first time such games with the most well-studied quantitative objective, namely, mean-payoff objectives. In pushdown games two types of strategies are relevant: (1) global strategies, that depend on the entire global history; and (2) modular strategies, that have only local memory and thus does not depend on the context of invocation, but only on the history of the current invocation of the module. Our main results are as follows (1) One-player pushdown games with mean-payoff objectives under global strategies is decidable in polynomial time. (2) Two-player pushdown games with mean-payoff objectives under global strategies is undecidable. (3) One-player pushdown games with mean-payoff objectives under modular strategies is NP-hard. (4) Two-player pushdown games with mean-payoff objectives under modular strategies can be solved in NP (i.e., both one-player and two-player pushdown games with mean-payoff objectives under modular strategies is NP-complete). We also establish the optimal strategy complexity showing that global strategies for mean-payoff objectives require infinite memory even in one-player pushdown games; and memoryless modular strategies are sufficient in two-player pushdown games. Finally we also show that all the problems have the same complexity if the stack boundedness condition is added, where along with the mean-payoff objective the player must also ensure that the stack height is bounded.

研究の動機と目的

• 形式的検証における基本的な定量的目的関数である平均報酬目的関数を備えたプッシュダウンゲームを解く計算複雑性を調査すること。
• 平均報酬プッシュダウンゲームの戦略複雑性を、グローバル戦略とモジュラー戦略の違いに着目して特徴づけること。
• モジュラー戦略においてメモリレスな戦略が十分かどうか、およびグローバル戦略では無限の記憶が必要かどうかを特定すること。
• 実用的なプログラム解析要件をモデル化するため、スタックの有界性制約を含めるように結果を拡張すること。
• 1人および2人プレイヤーのプッシュダウンゲームについて、平均報酬目的関数下での完全な複雑性特徴づけを提供すること。

提案手法

• NP困難性を示すために、3-SATから、エッジ重みが{−1, 0, +1}であるプレイヤー1が勝利する再帰的ゲーム（WRG）への還元を構築する。
• 各モジュール（リテラルまたは節）が真理値割り当てに基づいて経路の重み制約を強制するモジュラー戦略構築法の設計。
• 長期間平均報酬をモデル化するため、LimInfAvgおよびLimSupAvg目的関数を用い、閾値を≥0または>0とする。
• 3-SAT式の充足可能性と、非負の平均報酬を持つモジュラー勝利戦略の存在との間の同値性の証明。
• 再帰的状態機械の構造的解析と戦略分解を用いて、メモリレスなモジュラー戦略の十分性を確立。
• ハーバリング問題への還元により、2人プレイヤーのゲームにおけるグローバル戦略下での決定不能性を証明し、複雑性クラスを分離。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバル戦略を用いた1人プレイヤーのプッシュダウンゲームにおける平均報酬目的関数の計算複雑性は何か？
• RQ2 2人プレイヤーの平均報酬プッシュダウンゲームは、グローバル戦略下で決定可能か？
• RQ3 モジュラー戦略を用いた平均報酬目的関数のプッシュダウンゲームの複雑性は何か？
• RQ4 平均報酬プッシュダウンゲームを解くために、メモリレスなモジュラー戦略で十分か？
• RQ5 スタックの有界性を追加すると、平均報酬プッシュダウンゲームの複雑性はどのように変化するか？

主な発見

• グローバル戦略を用いた1人プレイヤーのプッシュダウンゲームにおける平均報酬目的関数は、多項式時間で決定可能である。
• グローバル戦略を用いた2人プレイヤーのプッシュダウンゲームにおける平均報酬目的関数は、決定不能である。
• モジュラー戦略を用いた1人プレイヤーのプッシュダウンゲームにおける平均報酬目的関数は、NP困難である。
• 1人および2人プレイヤーの両方のプッシュダウンゲームにおいて、モジュラー戦略を用いた平均報酬目的関数は、NP完全である。
• 平均報酬目的関数のプッシュダウンゲームにおけるグローバル戦略は、1人プレイヤーの場合ですら無限の記憶を必要とする。
• 2人プレイヤーの平均報酬プッシュダウンゲームを解くために、メモリレスなモジュラー戦略が十分であり、スタックの有界性が要求される場合でも同じ複雑性が成り立つ。