[論文レビュー] Mean values of L-functions and symmetry

J. Brian Conrey, David W. Farmer|ArXiv.org|Dec 13, 1999

Analytic Number Theory Research参考文献 20被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、L関数族の対称性型がそのL関数の平均値およびモリフィード平均平方を決定することを確立し、Barnes–Vignérasの$\Gamma_2$-関数および自己相似関数との関連を用いて示している。平均値予想における定数$g_k$の明示的漸近公式を導出し、それらを直交型、ユニタリ型、シンプレクティック型の対称性型と結びつけ、Stirling型展開およびゼータ関数の微分を用いて$k \to \infty$における$g_k$の正確な対数的漸近展開を導出している。

ABSTRACT

Recently Katz and Sarnak introduced the idea of a symmetry group attached to a family of L-functions, and they gave strong evidence that the symmetry group governs many properties of the distribution of zeros of the L-functions. We consider the mean-values of the L-functions and the mollified mean-square of the L-functions and find evidence that these are also governed by the symmetry group. We use recent work of Keating and Snaith to give a complete description of these mean values. We find a connection to the Barnes-Vignéras $Γ_2$-function and to a family of self-similar functions.

研究の動機と目的

• L関数族の対称性型がその平均値およびモリフィード平均平方の漸近的挙動にどのように影響するかを調査すること。
• リーマン・ゼータ関数のモーメントに関するフォークロア予想を、直交型、ユニタリ型、シンプレクティック型という指定された対称性型を有するより広範なL関数族へと拡張すること。
• 平均値予想に現れる定数$g_k$の正確な漸近公式を導出し、それらを算術定数$a_k$および対称性群パラメータと結びつけること。
• 漸近的挙動$g_k$をBarnes–Vignérasの$\Gamma_2$-関数と、$p$-進展開から生じる自己相似関数と結びつけること。
• 解析的数論的道具を用いて、異なる対称性型における$L$-関数モーメントの成長を統一的に理解する枠組みを提供すること。

提案手法

• KatzとSarnakの対称性型に関する予想的枠組みを用い、L関数族をそれに関連する対称性群（O, U, Sp）によって分類する。
• KeatingとSnaithの最近の結果（ランダム行列の特徴的多項式のモーメント）を応用し、$L$-関数の平均値をモデル化する。
• 階乗および二重階乗の対数和に対するStirlingの公式およびEuler–Maclaurin和公式を用いて、$g_k$の漸近展開を導出する。
• Dirichlet多項式のMontgomery–Vaughanの平均値定理を用い、$g_k$を長さ$T$の多項式が$\zeta(s)^k$の平均平方を捉えるために必要な数の測度として定義する。
• $p$-進展開を用いて実数の自己相似関数$c_p(x)$および$v_p(g_{k,O})$を定義し、$j \to \infty$における収束がフラクタル的極限に至ることを示す。
• Barnes–Vignérasの$\Gamma_2$-関数を用いて、$g_k$の漸近的挙動をリーマン・ゼータ関数およびその微分の特殊値で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 L関数族の対称性型は、その平均値の漸近的成長にどのように影響するか？
• RQ2 平均値公式に現れる定数$g_k$の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ3 定数$g_k$はBarnes–Vignérasの$\Gamma_2$-関数のような特殊関数で表現可能か？
• RQ4 算術定数$a_k$と対称性群パラメータは、$L$-関数モーメントの成長率をどのように決定するか？
• RQ5 モリフィード平均平方と、$p$-進展開から生じる自己相似関数との間に何の関係があるか？

主な発見

• ユニタリ型対称性型における$g_k$の漸近的成長は、$k \to \infty$において$\log g_{k,U} = k^2 \log k + \left(\frac{1}{2} - 2\log 2\right)k^2 + O(k \log k)$である。
• 直交型対称性型では、$\log g_{k,O} = \frac{1}{2}k^2 \log k + \left(\frac{1}{4} - \log 2\right)k^2 + O(k \log k)$であり、$\zeta'(-1)$および$\zeta'(0)$を含む明示的定数が現れる。
• シンプレクティック型では、$\log g_{k,Sp} = \frac{1}{2}k^2 \log k + \left(\frac{1}{4} - \log 2\right)k^2 + O(k \log k)$となり、主項は直交型と一致するが、低次の係数で相違する。
• 定数$g_k$は対称性型によって支配され、リーマン・ゼータ関数では$g_1 = 1$、$g_2 = 2$であり、ユニタリ型と整合的である。
• $j \to \infty$における$v_p(g_{k,O})/p^j$の極限は、自己相似関数$\frac{1}{2} x c_p(x)$に収束する。ここで$c_p(x)$は$||x||^2$に関連するフラクタル的関数である。
• Stirling型展開およびEuler–Maclaurin和公式を用いて$g_k$の漸近的性質を導出し、$\zeta^\prime(-1)$、$\zeta^\prime(0)$および対数項を含む正確な対数的展開が得られた。