[論文レビュー] Means and medians of sets of persistence diagrams

Katharine Turner|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2013

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、Lp型距離を用いて、有限個の非対角点を持つ Persistence ダイアグラム集合の平均および中央値という統計的指標を導入し、トポロジカル・データ解析における頑健な中心傾向の推定を可能にしている。平均は、非対角点が有限個の図において一般に一意であることが証明されているが、中央値は正の測度を有する集合上で一意でない場合がある。

ABSTRACT

The persistence diagram is the fundamental object in topological data analysis. It inherits the stochastic variability of the data we use as input. As such we need to understand how to perform statistics on the space of persistence diagrams. This paper looks at the space of persistence diagrams under a variety of different metrics which are analogous to L p metrics on the space of functions. Using these metrics we can form different cost functions defining different central tendencies and their corresponding measures of variability. This gives us the natural definitions of both the mean and median of a finite number of persistence diagrams. We give a characterization of the mean and the median of an odd number of persistence diagrams. Although we have examples of the mean not being unique nor continuous we prove that generically the mean of sets of persistence diagrams with finitely many off diagonal points is unique. In comparison the sets of persistence diagrams with finitely many off diagonal points which do not have a unique median is of positive measure.

研究の動機と目的

• Persistence ダイアグラムに根ざした厳密な統計的枠組みを確立すること。これは、トポロジカル・データ解析の中心的役割を果たす。
• ベクトル空間構造を自然に持たない Persistence ダイアグラムの空間における中心傾向の定義という課題に取り組むこと。
• さまざまな Lp 型距離の下で、有限個の Persistence ダイアグラム集合の平均および中央値を特徴づけること。
• Persistence ダイアグラムの文脈において、これらの中心傾向測度の一意性および連続性の性質を調査すること。

提案手法

• 関数の Lp ノルムに類似した、Persistence ダイアグラム空間における Lp 型距離を用いて、図の間の距離を定義する。
• 選択された距離に基づく、二乗距離の和の最小化問題として、有限個の Persistence ダイアグラム集合の平均を定義する。
• すべての図への距離の和を最小化する点として中央値を定義し、L1 評価に類似した構造とする。
• 幾何学的および測度論的議論を用いて、平均および中央値の一般的一意性を分析する。
• 非対角点が有限個の図に注目し、解空間の構造を重点的に考察する。
• 測度幾何学および最適輸送の結果を用いて、最小化子の存在および一意性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限個の Persistence ダイアグラム集合の平均が一意となる条件は何か？
• RQ2 有限個の Persistence ダイアグラム集合の中央値の性質として、一意性はどのように現れるか？
• RQ3 Persistence ダイアグラム上の Lp 距離構造と、それによって得られる統計的指標との関係は何か？
• RQ4 平均または中央値が一意でないことが起こる測度が正である図の集合は存在するか？
• RQ5 トポロジカル・データ解析の文脈において、平均と中央値は安定性および頑健性の観点でどのように比較できるか？

主な発見

• 非対角点が有限個の有限個の Persistence ダイアグラム集合の平均は、一般に一意である。ただし、一意でない例や、連続性の欠如が一部で見られる場合がある。
• 中央値が一意でない Persistence ダイアグラムの集合は正の測度を有しており、非一意性がまれな現象ではないことを示している。
• 平均は常に連続ではない。入力図の微小な摂動が、平均の値に不連続な変化をもたらすことがある。
• 中央値は平均よりも非一意性を示しやすい。非一意な中央値は、正の測度を有する集合上で発生する。
• Persistence ダイアグラムに Lp 型距離を適用することで、中心傾向の明確な定義が可能となり、平均は一般的一意性という観点からより安定している。
• 本論文は、Persistence ダイアグラムの統計的解析の理論的基盤を確立し、実用的なトポロジカル・データ解析パイプラインにおける平均および中央値の使用を支援する。