[論文レビュー] Measurability and Computability

Masanao Ozawa|ArXiv.org|Sep 16, 1998

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 1被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、量子観測可能性とチャーチ＝チューリング・サブスティテューションの間にある見かけの矛盾を、量子観測量の有限精度測定の再定義によって解決する。量子アルゴリズムによって計算可能な任意の関数は再帰的であることを証明し、したがってチャーチ＝チューリング・サブスティテューションと両立することを示す一方で、すべての量子観測量が原則的に測定可能であることを示し、量子理論と古典的計算可能性の限界を調和させる。

ABSTRACT

The conceptual relation between the measurability of quantum mechanical observables and the computability of numerical functions is re-examined. A new formulation is given for the notion of measurability with finite precision in order to reconcile the conflict alleged by M. A. Nielsen [Phys. Rev. Lett. 79, 2915 (1997)] that the measurability of a certain observable contradicts the Church-Turing thesis. It is argued that any function computable by a quantum algorithm is a recursive function obeying the Church-Turing thesis, whereas any observable can be measured in principle.

研究の動機と目的

• ニールセン（1997）が提起した、量子観測量の測定可能性とチャーチ＝チューリング・サブスティテューションの間にあるとされる矛盾を解消すること。
• 計算可能性との関係を明確にするために、量子力学における有限精度測定の概念を形式化すること。
• 量子アルゴリズムによって計算可能なすべての関数が再帰的関数であることを示し、チャーチ＝チューリング・サブスティテューションを保つこと。
• すべての量子観測量が原則的に測定可能であることを示し、その測定結果が有限時間内で常に計算可能であるとは限らないこと。

提案手法

• 量子力学における有限精度測定のための新しい形式的枠組みを導入し、理想測定と実際の測定プロセスを区別する。
• 測定結果が有限回の操作で任意の精度に近似可能である場合に限り、測定を有限精度測定と定義する。
• 再帰論を用いて、量子アルゴリズムによって生成される関数の計算可能性を分析する。
• 量子アルゴリズムによって計算可能な任意の関数が再帰的であることを示し、したがってチャーチ＝チューリング・サブスティテューションの意味での計算可能であることを証明する。
• 量子操作および正の演算子値測定（POVM）の枠組みを用いて、有限精度を持つ測定プロセスをモデル化する。
• 任意の観測量の測定は原則的に物理的に可能であるが、無限精度における決定不能性のため、得られる数値が常に計算可能とは限らないことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定の量子観測量の測定可能性とチャーチ＝チューリング・サブスティテューションの間にある見かけの矛盾は解消可能か？
• RQ2 量子力学における有限精度測定とは何か、そして計算可能性とはどのように関係するか？
• RQ3 量子アルゴリズムによって計算可能なすべての関数は、必然的に再帰的関数か？
• RQ4 測定結果が常に計算可能でないとしても、すべての量子観測量は原則的に測定可能か？
• RQ5 量子測定と再帰的関数論の正確な関係は何か？

主な発見

• 量子アルゴリズムによって計算可能な任意の関数は再帰的関数であるため、チャーチ＝チューリング・サブスティテューションを満たす。
• 有限精度測定が十分であるため、量子力学と古典的計算可能性を調和させることができ、ニールセンが提起したパラドックスを回避できる。
• すべての量子観測量は原則的に測定可能であるが、無限精度における決定不能性のため、正確な値が計算可能でない場合がある。
• 本論文は、観測量の物理的測定可能性そのものに問題があるのではなく、その正確な数値的結果の計算可能性に問題があることを明確にした。
• このフレームワークにより、測定が有限精度近似の観点で理解される限り、量子力学はチャーチ＝チューリング・サブスティテューションに違反しないことが示された。
• 結果として、有限精度が適切に扱われれば、量子計算が古典的計算可能性の範囲内に留まることを確認した。