[論文レビュー] Measure conjugacy invariants for actions of countable sofic groups

Lewis Bowen|ArXiv.org|Apr 22, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、可算なソフィック群の作用に対して測度共役不変量の族を導入し、コルモゴロフ＝シンアイエントロピーを一般化する。ソフィック群の場合、ベルヌーイシフトは、その基底空間のエントロピーによって完全に測度共役に関して分類可能であり、非可換群（自由群や線形群を含む）に対してもオルンシュタインの同型定理を拡張する。

ABSTRACT

Sofic groups were defined implicitly by Gromov in [Gr99] and explicitly by Weiss in [We00]. All residually finite groups (and hence every linear group) is sofic. The purpose of this paper is to introduce, for every countable sofic group $G$, a family of measure-conjugacy invariants for measure-preserving $G$-actions on probability spaces. These invariants generalize Kolmogorov-Sinai entropy for actions of amenable groups. They are computed exactly for Bernoulli shifts over $G$, leading to a complete classification of Bernoulli systems up to measure-conjugacy for many groups including all countable linear groups. Recent rigidity results of Y. Kida and S. Popa are utilized to classify Bernoulli shifts over mapping class groups and property T groups up to orbit equivalence and von Neumann equivalence respectively.

研究の動機と目的

• 可算なソフィック群の作用に対して、測度共役不変量を導入することで、アーメン群を超えたベルヌーイシフトの分類を拡張すること。
• 非可換なソフィック群へのコルモゴロフ＝シンアイエントロピーの一般化を図り、測度共役に関して完全な不変量を提供すること。
• 非可換群（自由群や線形群を含む）におけるベルヌーイシフトの同型問題を解決すること。
• ソフィック群上での2つのベルヌーイシフトが測度共役であるための必要十分条件として、それらの基底空間のエントロピーが等しいことであることを確立すること。
• 非アーベル自由群上の無限エントロピーを持つベルヌーイシフトが、有限エントロピーを持つ生成分割をもたないことを証明すること。

提案手法

• ソフィック近似 $ \Sigma $ を用いて、有限近似における正規化されたエントロピーの極限として、$ h(\Sigma, G, X, \mu) $ を定義する。
• 有限部分集合 $ F \subset G $ および有限分割 $ \alpha $ に対して、誤差制御を $ \epsilon $ を用いて行う相対エントロピー $ H(\Sigma, \alpha : F, \epsilon) $ をソフィック近似を用いて定義する。
• エントロピー構成の部分加法性および単調性の性質を確立し、収束性および測度共役に関して不変であることを保証する。
• ベルヌーイシフトの場合、ソフィックエントロピーが基底空間のエントロピー $ H(\kappa) $ に等しいことを示す。これは、ソフィック群におけるシャノン＝マクミラン型定理を用いる。
• 因子写像不等式を適用する：$ (G,X,\mu) $ が $ (G,Y,\nu) $ に因子写像されるとき、有限エントロピーを持つ生成分割 $ \alpha $ に対して $ h(\Sigma, G, Y, \nu) \geq h(\Sigma, G, X, \mu) - H(\alpha) $ が成り立つ。
• 有限エントロピー系から無限エントロピー系への因子写像の存在を用いて、無限エントロピーを持つベルヌーイシフトに有限エントロピーを持つ生成分割が存在すると仮定した場合に矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算なソフィック群の作用に対して、コルモゴロフ＝シンアイエントロピーを一般化する完全な測度共役不変量を定義できるか？
• RQ2 2つのベルヌーイシフトがソフィック群上での測度共役であるための必要十分条件は、それらの基底空間のエントロピーが等しいことか？
• RQ3 非アーベル自由群上の無限エントロピーを持つベルヌーイシフトが、有限エントロピーを持つ生成分割をもつのか？
• RQ4 オルンシュタインの同型定理は、自由群や線形群のような非可換ソフィック群へ拡張可能か？
• RQ5 特にエントロピーが無限大である場合に、ソフィック設定における因子写像におけるエントロピーの振る舞いはいかなるものか？

主な発見

• 任意の可算なソフィック群 $ G $ に対して、基底空間 $ (K, \kappa) $ のエントロピーが $ H(\kappa) < \infty $ ならば、ベルヌーイシフト $ (G, K^G, \kappa^G) $ のソフィック近似エントロピー $ h(\Sigma, G, K^G, \kappa^G) $ は、基底空間のエントロピー $ H(\kappa) $ に等しい。
• もし $ H(\kappa) = \infty $ であれば、ベルヌーイシフト $ (G, K^G, \kappa^G) $ は、いかなる有限エントロピーを持つ生成分割をもたない。
• 非アーベル自由群を含む任意のソフィック群 $ G $ に対して、$ G $ 上の無限エントロピーを持つベルヌーイシフトは、有限エントロピーを持つ分割によって生成可能ではない。
• ソフィックエントロピー構成は測度共役に関して不変であり、したがって有効な測度共役不変量である。
• 有限エントロピーを持つ生成分割をもつ系に対して、因子写像不等式 $ h(\Sigma, G, Y, \nu) \geq h(\Sigma, G, X, \mu) - H(\alpha) $ が成り立つ。
• 基底エントロピーによるソフィック群上のベルヌーイシフトの分類は、キダおよびポーパの最近の剛性結果を用いて、すべての可算線形群およびマッピングクラス群へ拡張可能である。