[論文レビュー] Measure rigidity for random dynamics on surfaces with positive entropy

Aaron Brown, Federico Rodriguez Hertz|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正のエントロピーを有する表面における確率的力学系の定常測度に関して、測度剛性の二分岐を確立する。すなわち、安定分布が非確率的であるか、測度がシニャン＝ルーレ＝ボーゲン（SRB）測度である。追加の不変性仮定のもとで、定常測度が正のエントロピーを有し、安定分布が非確率的である場合、測度は滑らかな不変測度のエルゴディック成分と一致する。本結果は、スケイプ積ダイナミクスと繊維ごとの絶対連続性を用いて、決定的状況から確率的状況への剛性原理の拡張を達成する。

ABSTRACT

Given a surface $M$ and a Borel probability measure $ν$ on the group of $C^2$-diffeomorphisms of $M$, we study $ν$-stationary probability measures on $M$. Assuming the positivity of a certain entropy, the following dichotomy is proved: either the stable distributions for the random dynamics is non-random, or the measure is SRB. In the case that $ν$-a.e. diffeomorphism preserves a common smooth measure $m$, we show that for any positive-entropy stationary measure $μ$, either there exists a $ν$-almost surely invariant $μ$-measurable line field (corresponding do the stable distributions for almost every random composition) or the measure $μ$ is $ν$-almost surely invariant and coincides with an ergodic component of $m$. To prove the above result, we introduce a skew product with surface fibers over a measure preserving transformation equipped with an increasing sub-$σ$-algebra $\hat F$. Given an invariant measure $μ$ for the skew product, and assuming the $\hat F$-measurability of the `past dynamics' and the fiber-wise conditional measures, we prove a dichotomy: either the fiber-wise stable distributions are measurable with respect to a related increasing sub-$σ$-algebra, or the measure $μ$ is fiber-wise SRB.

研究の動機と目的

• 正の測度的エントロピーを有する表面における確率的力学系の定常測度に関する二分岐を確立すること。
• このような測度がSRBであるか、非確率的安定分布に関連する条件を特定すること。
• 滑らかな不変測度が存在する場合に、決定的状況からの測度剛性結果を確率的状況に拡張すること。
• スケイプ積ダイナミクスと繊維ごとの条件付き測度を用いて、定常測度の構造を分析すること。
• 正のエントロピーと非確率的安定分布の下で、定常測度が滑らかな不変測度のエルゴディック成分に一致することを証明すること。

提案手法

• 測度を保存する変換上に、増大する部分σ代数を持つスケイプ積系を構築し、表面繊維上の確率的ダイナミクスをモデル化する。
• スケイプ積に対して不変測度μを定義し、増大する部分σ代数に関して繊維ごとの安定分布の可測性を分析する。
• 修正された指数的ドリフト法と非一様双曲的理論の道具を用いて、リャプノフ指数の成長を制御する。
• 安定多様体に沿ったホロノミー写像の横断的絶対連続性を適用し、エルゴディック・ベーシンと繊維上のルベーグ測度を関連付ける。
• 点별エルゴディック定理と連続関数の分離性を活用して、定常測度のエルゴディック・ベーシンを特徴付ける。
• 安定分布が非確率的でエントロピーが正である場合、定常測度はSRBでなければならないことを示し、不変性のもとで、滑らかな不変測度のエルゴディック成分と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的表面ダイナミクスにおいて、正のエントロピーを有する定常測度が、いつSRBであるか、または非確率的安定分布に関連するか。
• RQ2 共通の滑らかな不変測度が存在する場合、正エントロピーの定常測度の構造にどのような影響を与えるか。
• RQ3 増大する部分σ代数に関して安定分布の可測性が、定常測度の性質を決定する上で果たす役割は何か。
• RQ4 定常測度のエルゴディック・ベーシンを用いて、測度を滑らかな不変測度のエルゴディック成分として再構成できるか。
• RQ5 スケイプ積における繊維ごとの絶対連続性とホロノミー写像が、確率的力学系における測度剛性をどの程度示唆するか。

主な発見

• 安定分布が非確率的であり、定常測度が正のエントロピーを有する場合、測度はSRBである。
• ν-ほとんど everywhere の微分同相が滑らかな測度mを保存するとき、定常測度μが正のエントロピーを有するならば、安定分布が非確率的（したがってμはSRB）であるか、μはν-ほとんど everywhere で不変であり、mのエルゴディック成分と一致する。
• 定常測度のエルゴディック・ベーシンは、典型的な繊維上で正のルベーグ測度を有し、測度が繊維構造における全測度集合に台を持つことを示唆する。
• 非確率的安定分布と正のエントロピーの仮定のもとで、定常測度μが滑らかな不変測度mのエルゴディック成分m₀と一致することが示された。
• 証明は、スケイプ積設定における安定多様体に沿ったホロノミー写像の絶対連続性に依拠しており、これにより、基底から繊維への測度論的性質の転送が可能になる。
• 最終的な結果として、μ = m₀が確立され、与えられた条件下で可能な唯一の正エントロピー定常測度は、滑らかな不変測度のエルゴディック成分であることが確認された。