[論文レビュー] Measure rigidity of synthetic lower Ricci curvature bound on Riemannian manifolds

Bang-Xian Han|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、境界をもつリーマン多様体における合成的下界付きリッチ曲率の測度剛性を確立し、CD(K,∞)条件が領域の測地的凸性を示し、移動凸性を支えるのは対数半濃度的参考測度に限ることを証明する。L¹最適輸送とバクリ＝エメリー微分幾何学を用いて、エントロピー汎関数がK-移動凸性を示すのは対数濃度的測度に限ることを示し、Rⁿおよびそれ以上の次元で、長年の予想を解決する。

ABSTRACT

In this paper we investigate Lott-Sturm-Villani's synthetic lower Ricci curvature bound on Riemannian manifolds with boundary. We prove several measure rigidity results for some important functional and geometric inequalities, which completely characterize ${ m CD}(K, \infty)$ condition and non-collapsed ${ m CD}(K, N)$ condition on Riemannian manifolds with boundary. In particular, using $L^1$-optimal transportation theory, we prove that ${ m CD}(K, \infty)$ condition implies geodesical convexity.

研究の動機と目的

• 有界領域 Ω ⊂ (M,g) における CD(K,∞) 条件が、Ω の測地的凸性および Vol_g に関する測度の絶対連続性を示すという予想を解決すること。
• 境界をもつリーマン多様体における合成的 CD(K,∞) 框組みで、エントロピーの移動凸性が成立する参考測度のクラスを同定すること。
• 次元に依存しない設定ですら、Rⁿ 上でも、K-移動凸性のエントロピーが成立するのは対数（半）濃度的測度に限ることを確立すること。
• CD(K,∞) 条件が (Ω, d_Ω, m) に成り立つならば、m|∂Ω = 0 であり、(Ω, d_Ω, m) が無限小ヒルベルト空間的かつ RCD(K,∞) 条件を満たすことの証明。
• 非凸性を仮定した場合に矛盾を導くために、L¹最適輸送と条件付き測度の正則性を用い、測地的凸性を証明すること。

提案手法

• バクリ＝エメリーの修正されたリッチテンソルと境界の第二基本形式を組み合わせることで、境界をもつ多様体上に測度値リッチテンソルを構築する。
• 滑らかでない測度空間の道具を用いて、境界をもつ (Ω, d_Ω, m) 上で Γ-微分法と Γ₂-不等式を定義する。
• Fubiniの定理と条件付き測度の正則性を用いて、 Wasserstein空間内の測地線分から L¹ 最適カップリングを構成する。
• 循環的単調カップリング (Cpl^{1,2}_σ, Cpl^{1,3}_σ) を構築し、密度が一様に有界な W₂(Ω, d_Ω) 内の測地線を導出する。
• Rauchの比較定理を用いて、測地線内での補助集合の体積成長を評価し、非凸性を仮定した場合に矛盾を導く。
• 文献[27]の補題3.1を適用して、W₂(Ω, d_Ω) 内の測地線を密度が一様に有界な測地線に持ち上げ、σ^n ≳ σ を用いて矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CD(K,∞) 条件下で、境界をもつリーマン多様体上におけるバクリ＝エメリーの Γ-微分法の正しい定式化は何か？
• RQ2 参考測度 m = e^{-V}Vol_g で、リーマン多様体の境界をもつ CD(K,∞) 框組みで、エントロピーの K-移動凸性が成立するのはどのようなものか？
• RQ3 CD(K,∞) 条件が (Ω, d_Ω, m) に成り立つならば、Ω は内挿距離 d_Ω に関して測地的に凸であるか？
• RQ4 測度 m は Ω 上で Vol_g に関して絶対連続であり、境界上で消える必要があるか？
• RQ5 滑らかさや非崩壊性の仮定をせず、L¹ 最適輸送を用いて CD(K,∞) 条件から測地的凸性を証明できるか？

主な発見

• CD(K,∞) 条件が (Ω, d_Ω, m) に成り立つならば、領域 Ω は d_Ω-測地的に凸である。
• 測度 m は V がリプシッツ関数である形の e^{-V}Vol_g で表され、m|∂Ω = 0 でなければならない。
• 対数（半）濃度的測度が、次元に依存しない設定ですら、リーマン多様体上でのエントロピー汎関数が K-移動凸性を示す唯一の参考測度である。
• CD(K,∞) 条件は、(Ω, d_Ω, m) が無限小ヒルベルト空間的であり、RCD(K,∞) 条件を満たすことを示唆する。
• 非凸性を仮定した場合の体積成長 σ^n ≳ σ を用いた矛盾は、測地線の補助集合がゆっくり成長できないことを示し、測地的凸性の証明に繋がる。
• 本研究は、次元に依存しない CD(K,∞) 条件に対する測度剛性の最初の結果を提供し、Rⁿ 上でも有効である。