[論文レビュー] Measure-theoretic chaos (Chaos au sens de la mesure)

Tomasz Downarowicz, Yves Lacroix|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、標準確率空間上のエルゴディック測度保存系に対して、測度論的同型写像に関して不変な概念として測度論的カオスを導入し、可測構造における非可算なスクラムブル集合を用いて定義する。正のコルモゴロフ＝シンアイ entropy が測度論的 + カオスを含意することを証明し、測度論的カオスが位相的 DC2 カオスを含意することを示し、測度論的および位相的カオス理論の橋渡しを果たす。

ABSTRACT

We define new isomorphism-invariants for ergodic measure-preserving systems on standard probability spaces, called measure-theoretic chaos and measure-theoretic$^+$ chaos. These notions are analogs of the topological chaoses { m DC2} and its slightly stronger version (which we denote by { m DC}{\small$1 frac12$}). We prove that: 1. If a l\ system is measure-theoretically (measure-theoretically$^+$) chaotic with respect to at least one of its ergodic measures then it is l ly { m DC2} ({ m DC}{\small$1 frac12$}) chaotic. 2. Every ergodic system with positive Kolmogorov--Sinai entropy is measure-theoretically$^+$ chaotic (even in a bit stronger uniform sense). We provide an example showing that the latter statement cannot be reversed, a system of entropy zero with uniform measure-theoretic$^+$ chaos. \bigskip \centerline{\bf Résumé} Nous introduisons de nouveaux invariants pour les systèmes dynamiques définis sur des espaces probabilisés standards, appelés respectivement { m chaos mesuré} et { m chaos$^+$ mesuré}. Ces notions sont des analogues du chaos topologique { m DC2} et de l'une de ses variantes, renforcée, que nous appelons { m DC}{\small$1 frac12$}. Nous montrons d'une part que si un système dynamique topologique est chaotique (resp. chaotique$^+$) au sens da la mesure relativement à\ l'une de ses mesures invariantes ergodiques, alors il l'est du point de vue topologique au sens correspondant. Nous montrons que tout système ergodique d'entropie métrique positive est chaotique$^+$ au sens de la mesure (même en un sens plus fort, i.e. { m uniformément}). Nous donnons enfin un exemple de système dynamique topologique d'entropie nulle qui présente pour l'une de ses mesures invariantes ergodiques un chaos$^+$ mesuré uniforme.

研究の動機と目的

• 測度論的同型写像に関して不変な、位相的分布的カオス（DC2）の測度論的類似を定義すること。
• 測度論的同型写像のもとでスクラムブル集合が不安定である問題を克服し、トポロジーに依存しない可測構造に基づいてカオスを定義すること。
• 正のコルモゴロフ＝シンアイエントロピーと測度論的カオスとの間の関係を確立し、位相的力学系における既知の結果を模倣すること。
• 測度論的カオスが位相的 DC2 カオスを含意することを示し、測度論的および位相的カオス概念を結びつけること。
• 逆は成り立たないことを示し、一様な測度論的 + カオスを示すゼロエントロピー系を提供することで、この概念がエントロピーそのものよりも厳密に強いことを示すこと。

提案手法

• 標準確率空間の可測構造内での非可算スクラムブル集合を用いて、測度論的カオスを定義し、トポロジーに依存しないようにする。
• 特定の部分列に沿った一様な密度制御を組み込んだ、強化されたスクラムブル条件を備えた「測度論的 + カオス」という洗練された概念を導入する。
• 符号的力学系と分割に基づく構成（例：分割 $\mathscr{P}_k$, $\mathscr{Q}_k$）を用いて、写像下での軌道の振る舞いをモデル化する。
• 変分原理とベルヌーイ測度の性質を適用し、測度論的カオスをエントロピーおよび位相的力学系と関連付ける。
• ベース系からベルヌーイシフトへのファイバー写像 $\pi_y$ を構成し、スクラムブル性をファイバーに移す。この際、零集合および密度を保存する。
• ブロック内での一致の上側密度が分割および射影の間で保存されることを活用し、制御された条件下でスクラムブル性が継承されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度論的同型写像に関して不変な分布的カオス（DC2）の測度論的類似を定義できるか？
• RQ2 正のコルモゴロフ＝シンアイエントロピーは測度論的 + カオスを含意するか？また、この含意は逆転可能か？
• RQ3 測度論的カオスは、対応する位相的系において位相的 DC2 カオスを含意するか？
• RQ4 測度論的 + カオスは測度論的カオスよりも厳密に強い概念であるか、それとも同値であるか？
• RQ5 測度論的カオスの性質は位相的拡大または測度論的因子に伝わるか？これによりエントロピーにどのような影響があるか？

主な発見

• 正のコルモゴロフ＝シンアイエントロピーを有する任意のエルゴディック系は、一様な意味でも測度論的に + カオス的であることが保証され、エントロピーとカオスの直接的な関係が確立される。
• 一様な測度論的 + カオスを示すゼロエントロピー系が存在することから、この概念が正のエントロピーを上回って厳密に強いことが示される。
• 位相的系が少なくとも1つのエルゴディック測度に関して測度論的にカオス的であれば、その系は位相的に DC2 カオス的である。
• 測度論的カオスが位相的 DC2 カオスを含意することを確認し、新概念が位相的プロトタイプを正しく一般化していることを裏付ける。
• ファイバー写像 $\pi_y$ および分割力学系を用いた非可算スクラムブル集合の構成により、可測同型写像のもとでスクラムブル性が保存されることを保証する。
• 逆の含意が成り立たないことを示す反例を提示する：ゼロエントロピー系が一様な測度論的 + カオスを示すため、測度論的カオスが正のエントロピーを含意するとは限らない。