[論文レビュー] Measure theory and classifying spaces

Iván Marín|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2017

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は測度論的手法を用いて、離散群およびコンパクトなリー群の完全でメトリック的な分類空間を構成する。具体的には、$L(\text{prob space}, G)$ 上の群作用による商空間を形成する。アーベルな離散群 $\Gamma$ に対して、空間 $L_2(\Gamma)$ が双不変で完全な距離を持つ $K(\Gamma,1)$ であることを示し、指数化と断面性の性質を用いた反復的構成により $K(\Gamma,n)$ 空間へと進む。

ABSTRACT

We construct classifying spaces for discrete and compact Lie groups, with the property that they are topological groups and complete metric spaces in a natural way. We sketch a program in view of extending these constructions.

研究の動機と目的

• 確率論と測度論を用いて、分類空間に幾何的・メトリック的構造を構築すること。
• 非局所コンパクトな設定におけるメトリック分類空間を構築する上での圏論的および位相的課題に対処すること。
• 反復的構成 $L(\Omega, \cdot)$ が自然なメトリックおよび位相的性質を備えたエイレンバーグ＝マクレイン空間 $K(\Gamma,n)$ を与えるかどうかを調査すること。
• 商写像 $L(\Omega^n, \Gamma) \to L(\Omega^n, \Gamma)/L_n(\Gamma)$ に対する連続的または等長的な局所断面の存在を調査すること。これはホモトピー分類にとって重要である。
• 測度論的構成に基づくホモトピー圏の幾何化計画の基盤を築くこと。

提案手法

• 分類空間を $L(\Omega, G)/G$ として構成し、ここで $L(\Omega, G)$ は零集合を modulo として除いた $G$-値可測関数の空間であり、$L^1$-型の距離を備える。
• 点ごとの乗法により $L(\Omega, G)$ に群構造を導入し、移動による $G$-作用を定義することで、商距離空間を得る。
• コンパクトなリー群におけるリーマン的重心を用いて、商写像 $L(\Omega, G) \to L(\Omega, G)/G$ の明示的な局所断面を構成する。双不変メトリックを用いる。
• 完全正規空間の商に関してのグレソンの定理を適用し、コンパクトなリー群に対して局所断面の存在を正当化する。
• 同型 $L(\Omega, L(\Omega, \Gamma)) \simeq L(\Omega \times \Omega, \Gamma) \simeq L(\Omega, \Gamma)$ を確立し、反復的構成を可能にする。
• 局所断面およびセレーホコモロジーの性質の概念を導入し、反復的商が $K(\Gamma,n)$ 空間をもたらすかどうかを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G$ がコンパクトなリー群であるとき、写像 $L(\Omega, G) \to L(\Omega, G)/G$ は連続的局所断面をもつか？
• RQ2 $L(\Omega, G)/G$ の構成が、反復的に行われることで離散アーベル群 $\Gamma$ に対して $K(\Gamma, n)$ 空間をもたらすか。その条件は何か？
• RQ3 反復的空間 $L_n(\Gamma)$ または $L(\Omega^n, \Gamma)/L_n(\Gamma)$ はホモトピー上昇性質を満たすか、あるいは局所断面をもつか？
• RQ4 写像 $L(\Omega^n, \Gamma) \to L(\Omega^n, \Gamma)/L_n(\Gamma)$ はセレーホコモロジーであるか。また、$K(\Gamma,n)$ 空間の構造を支持するか？
• RQ5 $L_n(\Gamma)$ または $L(\Omega^n, \Gamma)/L_n(\Gamma)$ に完全で双不変な距離を導入することで、完全なメトリック分類空間を構成できるか？

主な発見

• 任意の離散アーベル群 $\Gamma$ に対して、空間 $L_2(\Gamma)$ は双不変で完全な距離を持つ $K(\Gamma,1)$ である。これは $L(\Omega, \Gamma)^2 \to L_2(\Gamma)$ の被覆写像の構成により証明される。
• 写像 $\pi: L(\Omega, \Gamma)^2 \to L_2(\Gamma)$ で $(\varphi, \psi) \mapsto (x,y) \mapsto \varphi(x)\psi(y)$ と定義されるものは、核が $\Gamma$ に同型である被覆写像であり、$K(\Gamma,1)$ 構造を確認する。
• 双不変なリーマン計量を備えたコンパクトなリー群 $G$ に対して、リーマン的重心を用いて $L(\Omega, G) \to L(\Omega, G)/G$ への局所断面が存在する。これは分布が $\pi$ より小さい立体角に集中している場合に定義される。
• $L_2(\Gamma)$ は自然に完全なメトリック群であり、双不変な距離を備え、普遍被覆は $L(\Omega, \Gamma)^2$ の商として実現される。
• 同型 $L(\Omega, L(\Omega, \Gamma)) \simeq L(\Omega \times \Omega, \Gamma) \simeq L(\Omega, \Gamma)$ により、高次元の分類空間の反復的構成が可能になる。
• $L(\Omega^n, \Gamma) \to L(\Omega^n, \Gamma)/L_n(\Gamma)$ に対する局所断面の存在は、核心的な未解決問題であり、$B_n(\Gamma)$ が弱い $K(\Gamma,n)$ 空間であるかどうかに影響を与える。