[論文レビュー] Measure theory through dynamical eyes

Vaughn Climenhaga, Anatole Katok|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 14

ひとこと要約

本稿は力学系の視点から測度論を提示し、エルゴード理論における分割、部分σ代数、L²関数の間の相互作用に焦点を当てる。微分幾何的構造（例えば、foliation）と不変測度の間の基礎的関係を確立し、条件付き測度のハウスドルフ次元とリャプノフ指数を用いてSRB測度を特徴づけるレドゥプリエ-ヤングのエントロピー公式に至る。

ABSTRACT

These expository notes are a somewhat embellished version of two rather informal evening review sessions given by the second author at the 2008 Bedlewo summer school on "Dynamical Systems - Geometric Structures and Rigidity"; they provide a brief overview of some of the basics of measure theory and its applications to dynamics which are foundational to the various courses at the school.

研究の動機と目的

• 測度論の抽象的枠組みを、分割、σ代数、L²空間を通じて力学系と結びつけること。
• 可測分割、部分σ代数、L²内の不変部分空間の間の対応関係を明確化すること。
• 微分幾何的力学系における、foliationとリャプノフ指数が不変測度に与える影響を説明すること。
• SRB測度をリャプノフ指数と条件付き測度のハウスドルフ次元によって特徴づけるレドゥプリエ-ヤングエントロピー公式を提示すること。
• 双曲的力学系におけるエントロピーと絶対連続性を理解するための概念的枠組みを提供すること。

提案手法

• 可測分割、部分σ代数、L²(X,μ)の閉部分空間の間の対応関係を用いて、測度論の三つの視点を統合する。
• 乗法的エルゴード定理を適用し、μ-ほとんど everywhere の点においてリャプノフ指数とそれらに付随するオセレデーツ部分空間を定義する。
• 一様な推定が可能な不安定・安定foliation（ペジン集合）を構成し、条件付き測度の解析を可能にする。
• リーフ・サブオーダー付き分割を用いてエントロピーを評価し、体積拡張率を介してエントロピー公式を確立する。
• レドゥプリエ-ヤングの定理を適用し、SRB測度が不安定多様体上での絶対連続な条件付き測度を持つことと同値であることを示す。
• 式 ∫∑_{χᵢ>0} dᵢ(x)χᵢ(x) dμ(x) を用いて、メトリックエントロピーをリャプノフ指数と幾何的データの形で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度論的力学系において、可測分割、部分σ代数、L²部分空間の間にはどのような対応関係があるか？
• RQ2 リャプノフ指数は、力学系のメトリックエントロピーを決定づける役割を果たすか？
• RQ3 システムのエントロピーが、次元で重み付けられた正のリャプノフ指数の和に等しくなるのはどのような場合か？
• RQ4 不変測度が不安定多様体上での絶対連続な条件付き測度を持つための条件は何か？
• RQ5 不変測度の幾何的性質は、その力学的挙動とどのように関係するか？

主な発見

• C¹微分同相写像のメトリックエントロピーは、正のリャプノフ指数の和をその重複度で重み付けた積分によって上から抑えられる。
• 絶対連続な不変測度をもつC¹⁺ᵅ微分同相写像では、エントロピー公式が等式に成立し、これをペジンのエントロピー公式と呼ぶ。
• レドゥプリエ-ヤングの定理により、測度が不安定多様体上での絶対連続な条件付き測度を持つことと、SRB測度であることとは同値である。
• 一般化されたエントロピー公式における係数δₙᵘは、不安定foliation上での条件付き測度のハウスドルフ次元を表す。
• 中間のリャプノフ指数に対しては、条件付き測度が特異的（例：離散的）であることがあるため、公式が常に幾何的滑らかさを反映しているわけではない。
• 係数δᵢᵘがfoliationに沿った測度の幾何的性質に依存するように、エントロピー公式は絶対連続測度を超えて一般化可能である。