[論文レビュー] Measure-Valued Generators of General Piecewise Deterministic Markov Processes

Zhaoyang Liu, Yong Jiao+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、任意の遷移間隔時間分布を有する一般化された区分的決定的マーカフ過程（PDMP）に対して、加法的関数型の半動的系（SDS）を解析的枠組みとして用いる、測度値生成子を導入する。主な貢献は、解析的条件を用いた生成子の定義域の完全な特徴付けと、加法的関数型の期待累積割引値を記述する測度積分微分方程式の導出である。

ABSTRACT

We consider a piecewise-deterministic Markov process (PDMP) with general conditional distribution of inter-occurrence time, which is called a general PDMP here. Our purpose is to establish the theory of measure-valued generator for general PDMPs. The additive functional of a semi-dynamic system (SDS) is introduced firstly, which presents us an analytic tool for the whole paper. The additive functionals of a general PDMP are represented in terms of additive functionals of the SDS. The necessary and sufficient conditions of being a local martingale or a special semimartingale for them are given. The measure-valued generator for a general PDMP is introduced, which takes value in the space of additive functionals of the SDS. And its domain is completely described by analytic conditions. The domain is extended to the locally (path-)finite variation functions. As an application of measure-valued generator, we study the expected cumulative discounted value of an additive functional of the general PDMP, and get a measure integro-differential equation satisfied by the expected cumulative discounted value function.

研究の動機と目的

• 一般PDMPにおける測度値生成子の厳密な理論を構築し、準伊藤的または密度仮定の枠組みを超えて拡張すること。
• 一般PDMPの加法的関数型と、それらの背後にある半動的系（SDS）の加法的関数型との間の関係を確立すること。
• 経路連続性およびジャンプ行動に関する解析的条件を用いて、測度値生成子の定義域を特徴付けること。
• 局所的（経路ごとの）有限変動関数への定義域の拡張を行い、期待累積割引値のための測度積分微分方程式を導出すること。
• 生成子に基づく方程式を用いて、PDMPにおける最適制御および期待値問題を解くための枠組みを提供すること。

提案手法

• 一般PDMPにおける半動的系（SDS）の加法的関数型を、一般PDMPの解析的基盤として導入する。
• 一般PDMPの加法的関数型を、それらの背後にあるSDSの加法的関数型で表現する。
• このような関数型が局所 martingale または特別半マルティンゲールであるための必要十分条件を確立する。
• 生成子を、経路ごとの連続性およびジャンプの台の条件によって特徴づけられる、SDSの加法的関数型の空間への写像として定義する。
• 生成子を用いて、期待累積割引値関数が満たす測度積分微分方程式を導出する。
• 生成子枠組みを応用し、適切な可積分性および減衰条件のもとで、測度積分微分方程式の解が割引加法的関数型の期待値と一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 遷移間隔時間分布に密度が存在しない場合、PDMPにおける拡張生成子の適切な一般化は何か？
• RQ2 一般PDMPの加法的関数型は、その背後にある半動的系を用いてどのように体系的に表現できるか？
• RQ3 一般PDMPの測度値生成子の定義域を完全に特徴付ける解析的条件は何か？
• RQ4 加法的関数型の期待累積割引値は、どのように測度積分微分方程式で特徴付けられるか？
• RQ5 測度積分微分方程式の解が、関数型の期待割引値と一致する条件は何か？

主な発見

• 測度値生成子は適切に定義されており、背後にある半動的系の加法的関数型の空間に値をとる。
• 生成子の定義域は、経路ごとの絶対連続性およびジャンプ台の条件によって完全に特徴づけられる：$ J_{Df} \subseteq J_{\Lambda} \cup \mathrm{Supp}_g $。
• 期待累積割引値関数 $ V(x) $ は、生成子を含む測度積分微分方程式を満たし、ドリフト項およびジャンプ項を有する。
• $ \Lambda^{sc} = 0 $ かつ共鳴状態が存在しない場合、可積分性および減衰条件のもとで、測度積分微分方程式の解は、期待割引関数型と一致する。
• 本稿は、測度積分微分方程式の解 $ f(x) $ が $ \mathbb{E}_x[\int_{(0,t]} e^{-\delta s} dA_s] $ に等しいことを確立し、生成子と確率的期待値との間の関係を明確にした。
• この枠組みは、滑らかまたは有界な関数にとどまらず、局所的有限変動関数へも拡張可能であり、適用範囲を広げた。