[論文レビュー] Measured Quantum Groupoids in action

Michel Enock|ArXiv.org|Oct 29, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、von Neumann代数における測度付き量子群ゲイド（measured quantum groupoids）の作用、交叉積、双対性の理論を展開し、局所コンパクト量子群におけるVaesの二重双対定理を拡張する。作用によるvon Neumann代数の交叉積への埋め込みが深さ2であることを証明し、VallinとEnockの結果の逆を与える。また、任意の局所コンパクト量子群の外部作用から、自然な測度付き量子群ゲイドを構成する。

ABSTRACT

Franck Lesieur had introduced in his thesis (now published in an expended and revised version in the {\it Mémoires de la SMF} (2007)) a notion of measured quantum groupoid, in the setting of von Neumann algebras and a simplification of Lesieur's axioms is presented in an appendix of this article. We here develop the notions of actions, crossed-product, and obtain a biduality theorem, following what had been done by Stefaan Vaes for locally compact quantum groups. Moreover, we prove that the inclusion of the initial algebra into its crossed-product is depth 2, which gives a converse of a result proved by Jean-Michel Vallin and the author. More precisely, to any action of a measured quantum groupoid, we associate another measured quantum groupoid. In particular, starting from an action of a locally compact quantum group, we obtain a measured quantum groupoid canonically associated to this action; when the action is outer, this measured quantum groupoid is the initial locally compact quantum group

研究の動機と目的

• 局所コンパクト量子群の理論を、von Neumann代数におけるより一般な測度付き量子群ゲイドの枠組みへと拡張すること。
• この設定において、群ゲイド作用と交叉積の概念を発展させ、Vaesの量子群に関する研究を一般化すること。
• 測度付き量子群ゲイドにおける二重双対定理を確立し、量子群理論における双対性定理に類似した形をとること。
• 初期代数 M₀ がその交叉積 M₁ に埋め込まれる際の深さ2性を証明し、既知の深さ2埋め込みが測度付き量子群ゲイドを生じることの逆を与えること。
• 任意の局所コンパクト量子群の外部作用から、自然な測度付き量子群ゲイドを構成し、作用が外部的である場合には元の群が回復されることを示すこと。

提案手法

• 擬似乗法的ユニタリとホップバイモジュールの枠組みを用いて、測度付き量子群ゲイドを定義・研究する。
• 作用値付き重みとJonesの基本構成を用いて、von Neumann代数の深さ2埋め込みを分析する。
• スライス写像とRadon-Nikodym定理（Vaes型）を用いて、モジュラー構造を扱い、双対性を実装する。
• δ不変重みを用いた作用の標準的実装を導入し、交叉積代数を構成する。
• コレプレゼンテーションおよび双対作用の理論を用いて、二重双対構造を定義・分析する。
• コインバースとスケーリング群の理論を用いて、モジュラー性質を特徴づけ、双対性の一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用と交叉積の概念を、局所コンパクト量子群から測度付き量子群ゲイドへどのように一般化できるか？
• RQ2 局所コンパクト量子群におけるものと類似した形で、測度付き量子群ゲイドに対しても二重双対定理が成り立つか？
• RQ3 深さ2性 M₀ ⊂ M₁ が、既知の結果（深さ2埋め込みが測度付き量子群ゲイドを生じる）の逆として特徴づけられるか？
• RQ4 局所コンパクト量子群の外部作用に自然に関連する測度付き量子群ゲイドの構造は何か？
• RQ5 この一般化された枠組みにおいて、モジュラー自己同型とスケーリング群は双対性の下でどのように振る舞うか？

主な発見

• 測度付き量子群ゲイド作用の下で、初期von Neumann代数がその交叉積に埋め込まれる際、深さ2であることが証明され、VallinとEnockの結果の逆を与える。
• 測度付き量子群ゲイドに対して二重双対定理が確立され、局所コンパクト量子群におけるVaesの結果が群ゲイドの設定へと拡張される。
• 任意の局所コンパクト量子群の外部作用に対して、関連する測度付き量子群ゲイドは元の量子群と同型であり、自然な双対性を示す。
• 測度付き量子群ゲイドのコインバースとスケーリング群が、双対性の下でも構造を保つことが示され、モジュラー対象の一貫性が保証される。
• モジュラー自己同型 σΦ と σΦ∘R は可換であり、モジュラーパラメータ λ は β(N) に属し、コインバース R によって固定されることを示した。
• δ不変重みを用いた作用の標準的実装により、双対作用を伴うwell-definedな交叉積が得られ、双対性構造が確認された。