[論文レビュー] Measurement and self-adjoint operators

G.E. Johnson|arXiv (Cornell University)|May 28, 2014

Quantum Mechanics and Applications参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、可観測量がヒルベルト空間における自己随伴作用素に対応する必要がないと主張することで、標準的量子化の枠組みに挑戦している。代わりに、量子力学はエヴェレット＝ホイーラー＝グレアム（EWG）相対状態解釈に基づき、状態をヒルベルト空間の要素として基礎づけるべきだと提案する。本研究では、ヒルベルト空間における自己随伴作用素を必要としない状態でも、量子力学が物理的系、特に相互作用を含む量子場理論を一貫して記述できることを示しており、重要な可観測量が自己随伴表現を持たない場合でも、古典的極限が出現することを示している。

ABSTRACT

The approximations of classical mechanics resulting from quantum mechanics are richer than a correspondence of classical dynamical variables with self-adjoint Hilbert space operators. Assertion that classical dynamic variables correspond to self-adjoint Hilbert space operators is disputable and sets unnatural limits on quantum mechanics. Well known examples of classical dynamical variables not associated with self-adjoint Hilbert space operators are discussed as a motivation for the realizations of quantum field theory that lack Hermitian field operators but exhibit interaction.

研究の動機と目的

• 古典的力学的変数がヒルベルト空間における自己随伴作用素に対応しなければならないという標準的量子化の仮定に反論すること。
• 相互作用を含む量子場理論が、ヒルベルト空間における自己随伴場作用素を必要としない形でも一貫して定式化できることを示すこと。
• エヴェレット＝ホイーラー＝グレアム（EWG）相対状態解釈が、崩壊に基づく解釈よりもより包括的かつ一貫性のある量子力学の基礎を提供できることを主張すること。
• 可観測量が自己随伴でない場合でも、調和振動子における $x^3p$ のような可観測量の古典的極限が、正確に量子力学で記述できることを示すこと。
• 古典的概念や波動関数の崩壊に依存しない形式的枠組みを用いることで、相対論的量子力学における基礎的問題を解決すること。

提案手法

• ヒルベルト空間の状態を、自己随伴作用素ではなく、量子力学における基本的実体として分析すること。
• エヴェレット＝ホイーラー＝グレアム（EWG）相対状態解釈を適用し、波動関数の崩壊や古典的測定領域の必要性を排除すること。
• 調和振動子の可観測量 $x^3p$ などの具体的な例を検討し、自己随伴性がなくても古典的力学が近似可能であることを示すこと。
• EPR Gedankenexperiment を用いて、もつれ状態が古典的理想化では記述できないことの証明とし、関係的量子記述の必要性を支持すること。
• 標準的量子化と状態中心の定式化を対比させ、測定に起因する崩壊の不在とユニタリ時間発展の強調すること。
• リッジドヒルベルト空間の限界と、非自己随伴可観測量の表現における一般化関数の役割を評価すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての古典的力学的変数が自己随伴作用素に対応する必要があるという仮定を排除した場合、量子力学は一貫して定式化可能か？
• RQ2 エヴェレット＝ホイーラー＝グレアム解釈は、波動関数の崩壊や古典的測定の仮定をどれほど排除できるか？
• RQ3 可観測量が自己随伴でない場合、その量子系の古典的極限をどのように正確に記述できるか？
• RQ4 標準的ラグランジアン量子場理論が基礎的困難を抱える理由は何か？ そして、それらはヒルベルト空間における自己随伴場作用素の仮定に起因するのだろうか？
• RQ5 相互作用を含む量子場理論が、ヒルベルト空間における自己随伴場作用素を必要としない形で実現可能であり、かつ正しい古典的力学を再現できるか？

主な発見

• 線形調和振動子における可観測量 $x^3p$ はヒルベルト空間において自己随伴作用素に対応しないが、その古典的極限は量子力学によって正確に再現される。
• もつれ系における測定プロセス、たとえばEPR Gedankenexperimentにおけるものでは、測定された可観測量の固有状態への波動関数の崩壊は必要ではなく、ユニタリ時間発展と観測者状態との相関によって示される。
• エヴェレット＝ホイーラー＝グレアム解釈により、古典的領域や波動関数の崩壊を仮定しない一貫した量子力学の記述が可能である。
• 相互作用を含む量子場理論は、ヒルベルト空間における自己随伴場作用素を必要としない形で実現可能であり、これは物理的可観測量に自己随伴性が必須であるという基礎的仮定に挑戦する。
• 古典的と量子的力学的変数の対応関係は、標準的量子化が示唆するよりも豊かであり、可観測量が自己随伴でなくても古典的極限が出現することが示される。
• 作用素が自己随伴でない場合でも、状態がユニタリに時間発展し、相関関係が保存される限り、物理的量の特徴づけは可能である。