[論文レビュー] Measurement theory in local quantum physics: Based on local state formalism in AQFT

Kazuya Okamura, Masanao Ozawa|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2014

Quantum Mechanics and Applications被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、C*-代数の完全正値（CP）測定機器の正規拡張性（NEP）を導入することで、代数的量子場理論（AQFT）における測定理論を確立する。CP測定機器にNEPを満たすものと、測定プロセスの統計的同値類との間の一対一対応を示し、原子的またはインジェクティブなC*-代数上のすべてのCP測定機器がNEPを満たすことを証明する。これにより、物理的に関連するほとんどの状況において測定が物理的に実現可能であることが保証される。

ABSTRACT

In this paper, we aim to establish foundations of measurement theory in local quantum physics. For this purpose, we discuss a representation theory of completely positive (CP) instruments on arbitrary von Neumann algebras. We introduce a condition called the normal extension property (NEP) and establish a one-to-one correspondence between CP instruments with the NEP and statistical equivalence classes of measuring processes. We show that every CP instrument on an atomic von Neumann algebra has the NEP, extending the well-known result for type I factors. Moreover, we show that every CP instrument on an injective von Neumann algebra is approximated by CP instruments with the NEP. The concept of posterior states is also discussed to show that the NEP is equivalent to the existence of a strongly measurable family of posterior states for every normal state. Two examples of CP instruments without the NEP are obtained from this result. It is thus concluded that in local quantum physics not every CP instrument represents a measuring process, but in most of physically relevant cases every CP instrument can be realized by a measuring process within arbitrary error limits, as every approximately finite dimensional (AFD) von Neumann algebra on a separable Hilbert space is injective. To conclude the paper, the concept of local measurement in algebraic quantum field theory is examined in our framework. In the setting of the Doplicher-Haag-Roberts and Doplicher-Roberts (DHR-DR) theory describing local excitations, we show that an instrument on a local algebra can be extended to a local instrument on the global algebra if and only if it is a CP instrument with the NEP, provided that the split property holds for the net of local algebras.

研究の動機と目的

• 局所量子物理学における測定理論の厳密な基礎を、代数的量子場理論（AQFT）の枠組み内で構築すること。
• 完全正値（CP）測定機器のうち、物理的に実現可能な測定プロセスを表せるものはどれかという問いに応えること。
• CP測定機器が実際に測定プロセスに対応するための条件を特定すること、特に局所代数とグローバル場理論の文脈において。
• 測定プロセスにおける事後状態の役割を明らかにし、NEP条件を通じてその測定可能性を明確にすること。
• 局所代数上の局所的測定機器が、DHR-DR枠組みにおいてどのようにしてグローバル測定機器に拡張できるかを検討すること。

提案手法

• CP測定機器が測定プロセスの統計的同値類として実現可能であることを保証する条件として、正規拡張性（NEP）を導入する。
• 任意のC*-代数上におけるCP測定機器にNEPを満たすものと、測定プロセスの統計的同値類との間の一対一対応を確立する。
• CP測定機器の表現論を適用し、原子的C*-代数上のすべてのCP測定機器がNEPを満たすことを示し、既知の型I因子に関する結果を一般化する。
• 近似技術を用いて、インジェクティブなC*-代数上の任意のCP測定機器が、NEPを満たす測定機器によって任意に良く近似可能であることを示す。
• 事後状態の強可測族という概念を定義・分析し、それがNEP条件と同値であることを示す。
• DHR-DRのスーパーシェルセクター理論にこの枠組みを適用し、局所代数上の局所的測定機器が、全場代数上のグローバル測定機器に拡張可能であるための必要十分条件として、NEPが成り立つことを証明する。ただし、局所代数のネットに対してスプリット性が成り立つものとする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-代数上のどのCP測定機器が、局所量子物理学における物理的測定プロセスとして実現可能であるか？
• RQ2 CP測定機器が実際に測定可能なプロセスの統計的同値類に対応するための数学的条件は何か？
• RQ3 AQFTにおける局所代数上のCP測定機器が、全場代数上のグローバル測定機器に拡張可能となる条件は何か？
• RQ4 事後状態の強可測族の存在は、測定の物理的実現可能性とどのように関係しているか？
• RQ5 非原子的または非インジェクティブなC*-代数上のCP測定機器は、NEPを満たさない場合でも、どの程度まで物理的に実現可能であると考えられるか？

主な発見

• 任意のC*-代数上におけるCP測定機器にNEPを満たすものと、測定プロセスの統計的同値類との間の一対一対応が確立された。
• 原子的C*-代数上のすべてのCP測定機器がNEPを満たすことが示され、型I因子に関する既知の結果が一般化された。
• インジェクティブなC*-代数上の任意のCP測定機器は、NEPを満たす測定機器によって任意に良く近似可能である。
• NEPは、任意の正規状態に対して、事後状態の強可測族が存在することと同値である。
• NEPを満たさないCP測定機器の例を2つ明示的に構成し、すべてのCP測定機器が物理的に実現可能な測定を表すわけではないことを示した。
• DHR-DR枠組みにおいて、局所代数上の局所的測定機器が全場代数上のグローバル測定機器に拡張可能であるための必要十分条件は、NEPが成り立つことである。ただし、局所代数のネットに対してスプリット性が成り立つものとする。