[論文レビュー] Measurements of resonance frequencies of clarinet reeds and simulations

Pierre-André Taillard, Franck Laloë+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2012

Music Technology and Sound Studies参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本研究では、レーザー・ホログラフィーを用いて2種類の湿り気状態下で55本のクラリネットリードの共鳴周波数を測定し、横方向および高次曲げモードでは強い相関が示されたが、1次曲げモードでは顕著なばらつきと湿り気への感受性が認められた。3次元有限要素シミュレーションと線形粘弾性モデルを用いて、周波数予測に重要なのは縦方向弾性係数 $E_L$ と横方向剪断弾性係数 $G_{LT}$ であることが特定され、直交パラメータフィッティングに基づく周波数依存材料モデルが *Arundo donax* に対して提案された。

ABSTRACT

A set of 55 clarinet reeds is observed by holography, collecting 2 series of measurements made under 2 different moisture contents, from which the resonance frequencies of the 15 first modes are deduced. A statistical analysis of the results reveals good correlations, but also significant differences between both series. Within a given series, flexural modes are not strongly correlated. A Principal Component Analysis (PCA) shows that the measurements of each series can be described with 3 factors capturing more than $90\%$ of the variance: the first is linked with transverse modes, the second with flexural modes of high order and the third with the first flexural mode. A forth factor is necessary to take into account the individual sensitivity to moisture content. Numerical 3D simulations are conducted by Finite Element Method, based on a given reed shape and an orthotropic model. A sensitivity analysis revels that, besides the density, the theoretical frequencies depend mainly on 2 parameters: $E_L$ and $G_{LT}$. An approximate analytical formula is proposed to calculate the resonance frequencies as a function of these 2 parameters. The discrepancy between the observed frequencies and those calculated with the analytical formula suggests that the elastic moduli of the measured reeds are frequency dependent. A viscoelastic model is then developed, whose parameters are computed as a linear combination from 4 orthogonal components, using a standard least squares fitting procedure and leading to an objective characterization of the material properties of the cane extit{Arundo donax}.

研究の動機と目的

• レーザー・ホログラフィーを用いて、2種類の異なる湿り気状態下で55本のクラリネットリードの共鳴周波数を測定すること。
• リード集団全体における最初の15振動モードの統計的ばらつきおよび相関関係を分析すること。
• 正交的材料特性に基づく3次元有限要素モデルを構築し、実験データと照合して妥当性を検証すること。
• 共鳴周波数に最も大きな影響を与える材料パラメータを特定し、その周波数依存性を同定すること。
• 最小二乗法によるフィッティングを用いて、実験データに基づく客観的かつパラメトリックな線形粘弾性モデルを *Arundo donax* に対して構築すること。

提案手法

• 55本のクラリネットリードの動的応答を測定するために、2種類の湿り気状態でホログラフィー法を用いた。
• リード集団全体における変動の主なモードを特定し次元削減を行うために、主成分分析（PCA）を適用した。
• 定義されたリード形状と材料パラメータに基づく正交的弾性モデルを用いて、3次元有限要素シミュレーションを実施した。
• 感度解析により、理論的共鳴周波数に最も大きな影響を与えるのは $E_L$ と $G_{LT}$ の2つの弾性パラメータであることが判明した。
• 共鳴周波数を $E_L$ と $G_{LT}$ の関数として推定する近似解析的公式を導出した。
• 4つの直交成分の線形結合として表現されるパラメータを持つ線形粘弾性モデルを構築し、実験データに最小二乗法を用いてフィッティングした。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 湿り気の変動が、複数の振動モードにおけるクラリネットリードの共鳴周波数にどのように影響するか？
• RQ2 クラリネットリードの最初の15振動モードはどの程度相関しているか。特に、どのモードが最も高いばらつきを示すか？
• RQ3 特に $E_L$ と $G_{LT}$ といった材料パラメータの中で、有限要素シミュレーションにおける予測共鳴周波数に最も顕著な影響を与えるのはどれか？
• RQ4 実験データから客観的に周波数依存の線形粘弾性モデルを導出できるか？
• RQ5 $E_L$ と $G_{LT}$ を用いた解析的公式による予測周波数と観測周波数の乖離は、材料特性にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 55本のリードの最初の15共鳴周波数がホログラフィー法により正確に測定され、湿り気状態を変えて2つの異なるデータセットが収集された。
• PCAの結果、各データセットで90%以上の分散を説明する3つの要因が特定された。第1要因は横方向モードに関連し、第2要因は高次曲げモードに関連し、第3要因は1次曲げモードに関連した。
• 個々のリードの湿り気感受性を説明するためには第4要因が必要であり、これは非均一な水分応答を示すことを示唆している。
• 感度解析により、理論的共鳴周波数は主に $E_L$ と $G_{LT}$ に依存しており、密度は二次的な影響を及ぼすことが判明した。
• 観測周波数と解析的予測周波数の乖離は、*Arundo donax* の弾性係数が周波数依存である可能性を示唆している。
• 直交パラメータ成分と最小二乗法フィッティングを用いて、線形粘弾性モデルを成功裏に開発し、カンジク材料の力学的挙動を客観的に特徴づけることが可能になった。