[論文レビュー] Measures of Correlation for Multiple Variables

Jianji Wang, Nanning Zheng|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2014

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 21被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、複数変数間の多次元的相関および線形独立性の一般化された測定法として、符号なし相関係数（UCC）と符号なし無相関係数（UIC）を導入する。UCCは、多次元空間における標準化されたベクトル間の最小角のコサインを用いて線形従属の強さを測定する。一方、UICはこれらのベクトルがなす平行立体の体積を測定する。両者とも[0,1]の範囲で有界であり、UCCは線形従属の際に1に達し、直交性の際に0に達する。

ABSTRACT

Multivariate correlation analysis plays an important role in various fields such as statistics, economics, and big data analytics. In this paper, we propose a pair of measures, the unsigned correlation coefficient (UCC) and the unsigned incorrelation coefficient (UIC), to measure the strength of correlation and incorrelation (lack of correlation) among multiple variables. The absolute value of Pearson's correlation coefficient is a special case of UCC for two variables. Some important properties of UCC and UIC show that the proposed UCC and UIC are a pair of effective measures for multivariate correlation. We also take the unsigned tri-variate correlation coefficient as an example to visually display the effectiveness of the proposed UCC, and the geometrical explanation of UIC is also discussed. All the properties and the figures of UCC and UIC show that the proposed UCC and UIC are the general measures of correlation for multiple variables.

研究の動機と目的

• 高次元データ解析における多次元的相関のためのコンactで直接的な測定法の欠如に対処すること。
• ピアソンの相関係数を二変数の場合を超えた複数変数への一般化すること。
• 多次元系における相関強度および線形独立性の幾何的解釈可能な測定法を提供すること。
• ベクトル幾何とグラム行列を用いた、多次元データにおける相関および無相関の形式的枠組みを確立すること。
• 幾何的および3次元的表現を通じて、提案された測定法の有効性を視覚的に検証すること。

提案手法

• 符号なし相関係数（UCC）を、標準化されたベクトルがなす平行立体の体積の二乗の1から引いた値の平方根として定義する。
• 符号なし無相関係数（UIC）を、複数変数の標準化されたベクトルがなす平行立体の体積として定式化する。
• 相関行列の行列式をUICの二乗として用い、グラム行列幾何と結びつける。
• 幾何的推論を適用：変数の数と次元が等しい場合、UICは標準化されたベクトル行列の行列式の絶対値に等しい。
• UCCを3次元の表面および曲線として可視化し、ベクトルcとab平面への射影との間の角ηなどの角度に対して、幾何的相関強度と密接に一致することを示す。
• 空間的角に関する重要な恒等式 $ r_{abc} = \sqrt{1 - \sin^2\alpha \sin^2\eta} $ を導出する。この式はUCCと3次元空間における角の関係を結ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分相関などの間接的手法を超えて、複数変数間の線形相関の強さを直接測定する方法は何か？
• RQ2 ベクトル空間および平行立体の観点から、多次元的相関の幾何的解釈は何か？
• RQ3 ピアソンの相関係数を2変数を超える複数変数に一般化する単一のスカラー測定法は可能か？ その際、有界性や単調性といった重要な性質を保持できるか？
• RQ4 多次元空間において、変数と他の変数がなす平面との間の角は、UCCとどのように関係するか？
• RQ5 相関行列の行列式と多次元的無相関測定法との関係は何か？

主な発見

• UCCとUICは[0,1]の範囲で有界であり、UCC = 1は完全な線形従属、UCC = 0は変数間の直交性を示す。
• 変数の集合について、UCCの二乗とUICの二乗の和は常に1に等しくなる。これにより、両者の補完的関係が確立される。
• UICは変数の標準化されたベクトルがなす平行立体の体積に等しく、幾何的解釈を提供する。
• m個の変数が次元mを持つ場合、UICはそれらの標準化されたベクトルがなす行列の行列式の絶対値に等しい。
• 3変数のUCCは $ r_{abc} = \sqrt{1 - \sin^2\alpha \sin^2\eta} $ で与えられ、ここでαは2つの固定されたベクトル間の角、ηは3番目のベクトルと最初の2つのベクトルがなす平面との間の角である。
• 図5の可視化により、UCCの曲線が角ηによって測定される幾何的相関強度と密接に一致することが示され、これが多次元的相関測定としての有効性を裏付けている。