[論文レビュー] Measures of $\e$-complexity

Valentin Afraimovich, Lev Glebsky|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、コン pact な距離空間における $\epsilon$-複雑性の二つの双対的測度を導入し、分析する。一つは $\epsilon$-分離集合に基づくもので、もう一つは $\epsilon$-ネットに基づくものである。これら二つの測度が弱い条件下で等価であることを証明し、分離に基づく $\epsilon$-複雑性がネット被覆に基づくものと双対的であることを示した。等価性は、$\epsilon$-球内に含まれる点の最大数を含む境界によって確立される。この結果は、フラクタル幾何学および力学系における既知の関係を一般化する。

ABSTRACT

We study some measures which are related to the notion of the $\e$-complexity. We prove that measure of $\e$-complexity defined on the base of the notion of $\e$-separability is equivalent to the dual measure that is defined through $\e$-nets. Keywords: Complexity, Separability, Bernoulli measure

研究の動機と目的

• 動的システムおよびフラクタル幾何学に動機づけられ、抽象的なコンパクト距離空間における $\epsilon$-複雑性の測度を形式化し、研究すること。
• $\epsilon$-分離集合を用いて定義される $\epsilon$-複雑性と、$\epsilon$-ネットを用いて定義される $\epsilon$-複雑性との間の双対性を確立すること。
• 特に、任意の $\epsilon$-球内に含まれる点の数が一様に有界であるような一般条件の下で、これらの双対的測度が等価であることを証明すること。
• これらの複雑性測度が局所等長写像に関して不変であるかどうかを検討し、それらが位相次元およびハウスドルフ次元とどのように関係するかを明らかにすること。

提案手法

• $\epsilon$-複雑性を、コンパクト距離空間における $\epsilon$-分離部分集合の最大基数として定義する。
• 双対的 $\epsilon$-複雑性を、空間を被覆する $\epsilon$-ネットの最小基数として定義する。
• 不等式 $C_{\epsilon} \leq R_{\epsilon/2}$ を用いて二つの測度を関連付け、$R_{\epsilon/2} \geq C_{\epsilon}$ を示す。
• 複雑性のスケールにわたる漸近的挙動を分析するために、超フィルターに基づく測度 $\mu_{E,\mathcal{F}}$ と $\nu_{E,\mathcal{F}}$ を導入する。
• ネットの点によってインデックス付けされた互いに交わらない被覆集合 $K_x$ を用いて、最適な $\epsilon$-ネットと $\epsilon$-分離集合の間の対応を構成する。
• 任意の点 $x$ に対して $C_{\epsilon}(O_{\epsilon}(x)) \leq k$ が一様に成り立つとき、測度 $\mu_{E,\mathcal{F}}$ と $\nu_{E,\mathcal{F}}$ が等価であることを証明し、境界 $\frac{1}{k}\nu \leq \mu \leq k\nu$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト距離空間において、$\epsilon$-分離性に基づく $\epsilon$-複雑性測度と $\epsilon$-ネットに基づく測度は等価か？
• RQ2 どのような条件下で、$\epsilon$-ネットによる双対的測度が分離性に基づく測度と一致するか？
• RQ3 これらの複雑性測度は局所等長写像に関してどのように振る舞い、不変か？
• RQ4 セルフスミラー集合（例：カントール集合）において、$\epsilon$-複雑性とハウスドルフ次元の関係は何か？
• RQ5 超フィルターに基づく漸近的複雑性測度は、力学系における異なる複雑性概念を統一または比較するために用いることができるか？

主な発見

• $\epsilon$-分離性に基づく $\epsilon$-複雑性は、$\epsilon$-ネットに基づく双対的 $\epsilon$-複雑性によって上から抑えられ、$C_{\epsilon} \leq R_{\epsilon/2}$ が成り立つ。
• 双対的測度 $R_{\epsilon}$ は部分加法性を満たす：$R_{\epsilon}(D_1 \cup D_2) \leq R_{\epsilon}(D_1) + R_{\epsilon}(D_2)$。
• 非アーメトリック空間では、$C_{\epsilon}(O_{\epsilon}(x)) = 1$ であるため、$\mu_{E,\mathcal{F}} = \nu_{E,\mathcal{F}}$ が成り立つ。
• 任意の $\epsilon$-球内に含まれる点の数が一様に $k$ 以下であるとき、測度 $\mu_{E,\mathcal{F}}$ と $\nu_{E,\mathcal{F}}$ は境界 $\frac{1}{k}\nu \leq \mu \leq k\nu$ を用いて等価である。
• カントール集合の場合は、$\frac{\ln C_{\epsilon}}{-\ln \epsilon} \to \dim_H K = \frac{\ln 2}{\ln 3}$ を満たし、Furstenbergの公式が回復される。
• 複雑性測度は局所等長写像に関して不変であることが示され、特に $\nu_{E,\mathcal{F}}$ がこのような写像で不変であることが確認された。