[論文レビュー] Measures of serial extremal dependence and their estimation

Richard A. Davis, Thomas Mikosch+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2013

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、極値グラムとスペクトル解析を用いて、重尾時系列における逐次的極値依存の測度を導入および推定する。周期的極値依存パターンを標準的な自己相関では観察できない状況においても検出可能となるように、極値グラムのスペクトル密度に対する周期図に基づく推定の漸近的理論を確立する。

ABSTRACT

The goal of this paper is two-fold: 1. We review classical and recent measures of serial extremal dependence in a strictly stationary time series as well as their estimation. 2. We discuss recent concepts of heavy-tailed time series, including regular variation and max-stable processes. Serial extremal dependence is typically characterized by clusters of exceedances of high thresholds in the series. We start by discussing the notion of extremal index of a univariate sequence, i.e. the reciprocal of the expected cluster size, which has attracted major attention in the extremal value literature. Then we continue by introducing the extremogram which is an asymptotic auto-correlation function for sequences of extremal events in a time series. In this context, we discuss regular variation of a time series. This notion has been useful for describing serial extremal dependence and heavy tails in a strictly stationary sequence. We briefly discuss the tail process coined by Basrak and Segers to describe the dependence structure of regularly varying sequences in a probabilistic way. Max-stable processes with Frechet marginals are an important class of reg- ularly varying sequences. Recently, this class has attracted attention for modeling and statistical purposes. We apply the extremogram to max-stable processes. Finally, we discuss estimation of the extremogram both in the time and frequency domains.

研究の動機と目的

• 厳密に station な時系列における逐次的極値依存の古典的および最近の測度をレビューおよび統合すること。
• 正則変動と尾過程の使用を形式化し、重尾列における逐次的極値依存をモデル化すること。
• 時間領域および周波数領域の両方で極値グラムのスペクトル推定法を開発および正当化すること。
• 極値グラムをFréchet周辺を持つmax-stable過程に適用すること、これは正則変動列の主要なクラスである。
• ブロックサイズおよび混合係数の成長条件の下で、滑らか化周期図を用いて極値グラムのスペクトル密度の一貫性と漸近正規性を保証する推定を行うこと。

提案手法

• 超過度の点過程収束を用いて極値クラスタを定義し、クラスタの期待サイズの逆数として極値指数を導出する。
• 極値事象の漸近的自己相関関数として極値グラムを定義し、正規化された極値共分散の極限を用いる。
• 確率的枠組みで逐次的極値依存を特徴付けるために、確率過程の正則変動の概念を適用する。
• BasrakとSegersの尾過程を用いて、正則変動列における極値クラスタの同時依存構造を記述する。
• 混合およびモーメント条件の下で、極値事象の周期図の漸近的分布極限を導出する。
• ダニエル型窓を用いて滑らか化周期図推定器を構築し、ブロックサイズおよび混合係数の成長条件の下で、L²の一貫性および漸近正規性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 厳密に station な時系列における逐次的極値依存は、極値グラムを用いて一貫して測定および推定可能であるか？
• RQ2 極値事象の周期図の漸近的分布は何か？ そして、それがスペクトル推論にどのように利用可能か？
• RQ3 弱い依存および正則変動の下で、滑らか化周期図推定器は極値グラムのスペクトル密度を一貫して推定可能か？
• RQ4 極値グラムおよびそのスペクトル表現は、金融および環境時系列における極値クラスタの周期的パターンをどのように検出するか？
• RQ5 Fréchet周辺を持つmax-stable過程は、逐次的極値依存をモデル化する上で果たす役割は何か？ また、その極値グラムはどのように推定可能か？

主な発見

• 極値グラムは、極値事象の有効な漸近的自己相関関数であることが示され、古典的時系列スペクトル理論と類似したスペクトル表現を持つ。
• 極値事象の周期図は、スペクトル密度のスケーリングされた指数関数的関数に分布収束する。これにより、漸近的推論が可能になる。
• 極値グラムのスペクトル密度の滑らか化周期図推定器は、ブロックサイズおよび混合係数の弱い成長条件の下でL²で一貫しており、漸近的に正規分布に従う。
• 本手法は、バンクオブアメリカ株式の5分間ログリターンにおいて顕著な周期的極値依存を検出しており、滑らか化周期図のピークは繰り返し現れる極端な損失パターンを示している。
• 極値グラムに基づくスペクトル解析は、標準的自己相関や絶対値自己相関プロットでは検出できない極値クラスタリングの周期的サイクルを検出可能である。
• Fréchet周辺を持つmax-stable過程に対しては、極値グラムに閉形式の表現が存在し、提案された推定枠組みの下でそのスペクトル密度が一貫していることが示された。