[論文レビュー] Measures with positive Lyapunov exponent and conformal measures in rational dynamics

Neil Dobbs|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有理写像の力学における、正のリヤプノフ指数をもつエルゴディック不変確率測度が一般の共形測度に関して絶対連続であるための同値条件を確立する。自然拡大における定期的に戻るシリンダーの新規構成を用いて、測度を生成する可積分な帰還時間を持つ拡大型の誘導マルコフ写像の存在を証明し、密度がゼロから離れていることを示す。これにより、レドゥアッピエの結果を含む先行研究よりも、より単純で強い証明が得られる。

ABSTRACT

Ergodic properties of rational maps are studied, generalising the work of F.\ Ledrappier. A new construction allows for simpler proofs of stronger results. Very general conformal measures are considered. Equivalent conditions are given for an ergodic invariant probability measure with positive Lyapunov exponent to be absolutely continuous with respect to a general conformal measure. If they hold, we can construct an induced expanding Markov map with integrable return time which generates the invariant measure.

研究の動機と目的

• 有理写像の力学における絶対連続不変測度（acip）に関するレドゥアッピエの結果を一般化・強化すること。
• 正のリヤプノフ指数をもつエルゴディック不変測度が一般の共形測度に関して絶対連続であるための同値条件を特定すること。
• これらの条件が成り立つ場合に、可積分帰還時間を持つ拡大型の誘導マルコフ写像が存在し、それが不変測度を生成することを構成すること。
• 共形測度に関して不変測度の密度がゼロから離れていることを証明すること。
• ペジン理論と自然拡大の力学に基づく、正則的でない設定にも適用可能な、より一般的な枠組みを提供すること。

提案手法

• 自然拡大における定期的に戻るシリンダーの概念を導入し、元の集合がよい性質をもたなくても、前像がネストされているかあるいは互いに素であることを保証する。
• 自然拡大を用いて力学を上に持ち上げ、良い位相的および力学的性質をもつ有限生成分割を構成する。
• ペジン理論と歪度推定を用いて、微分の成長とポテンシャル関数の変動を制御する。
• コーエーベの原理と歪度の境界を活用し、シリンダー成分上での反復写像の歪度に一様な制御を確立する。
• 最大の位相的球を標的集合へ微分同相写像として写すことで、可積分帰還時間を持つ拡大型の誘導マルコフ写像を構成する。
• カックの定理と測度論的議論を用いて期待帰還時間を評価し、有界な密度をもつ絶対連続不変測度の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理写像の力学において、正のリヤプノフ指数をもつエルゴディック不変確率測度が一般の共形測度に関して絶対連続であるための条件は何か？
• RQ2 acipの存在が、ペジンの公式の変種や、可積分帰還時間を持つ拡大型の誘導マルコフ写像の存在といった性質によって同値に特徴付けられるか？
• RQ3 与えられた正のリヤプノフ指数をもつエルゴディック不変測度を生成する拡大型の誘導マルコフ写像をどのように構成できるか？
• RQ4 自然拡大における定期的に戻るシリンダーの役割は、このような写像の構成と密度の有界性を保証するために果たすか？
• RQ5 ペジン理論と歪度制御に基づく手法は、正則的写像の力学を超えて、どの程度一般化可能か？

主な発見

• 正のリヤプノフ指数をもつエルゴディック不変確率測度 μ が共形測度 m に関して絶対連続であるための必要十分条件は、μ がペジンの公式の変種を満たすことである。
• このような acip が存在するとき、可積分帰還時間を持つ拡大型の誘導マルコフ写像が存在し、それが μ を生成する。
• μ と m の間の密度はゼロおよび無限大から離れており、歪度制御とコーエーベ型推定を用いて明示的に証明されている。
• 構成により、自然拡大における有限生成分割が得られ、その要素数は有理写像の次数 d より1つ多い。これにより、測度のエントロピーが log d で有界であることが示される。
• 証明手法は1次元正則写像性に依存せず、多項式や後退的写像に限らない、より広い有理写像のクラスに一般化可能である。
• 本手法により、acip の存在に対するより単純な新証明が得られ、密度の有界性が明示的に示された。これは、[13] らの先行研究で用いられていたが、証明されていなかった事実である。