[論文レビュー] Measuring 4-local n-qubit observables could probabilistically solve PSPACE

Paweł Wocjan, Dominik Janzing+2 more|ArXiv.org|Aug 1, 2003

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 11被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、4局所nキュービット観測量を正確に測定できる仮想の量子測定装置が、多項式回の測定で任意のPSPACE問題を確率的に解けることを示している。主な結果は、観測量のスペクトルギャップのオーダーの精度で測定すれば、PSPACE問題の誤差が指数関数的に減少することであり、一般の4局所観測量の効率的かつ高精度な測定が可能ならば、多項式階層が崩壊するか、PSPACE ≠ BQP でなければならないことを示唆している。

ABSTRACT

We consider a hypothetical apparatus that implements measurements for arbitrary 4-local quantum observables A on n qubits. The apparatus implements the ``measurement algorithm'' after receiving a classical description of A. We show that a few precise measurements, applied to a basis state would provide a probabilistic solution of PSPACE problems. The error probability decreases exponentially with the number of runs if the measurement accuracy is of the order of the spectral gaps of A. Moreover, every decision problem which can be solved on a quantum computer in T time steps can be encoded into a 4-local observable such that the solution requires only measurements of accuracy O(1/T). Provided that BQP<>PSPACE, our result shows that efficient algorithms for precise measurements of general 4-local observables cannot exist. We conjecture that the class of physically existing interactions is large enough to allow the conclusion that precise energy measurements for general many-particle systems require control algorithms with high complexity.

研究の動機と目的

• 量子系における4局所nキュービット観測量の正確な測定の計算的パワーを調査すること。
• このような測定が、複雑性クラスPSPACEに属する問題を解けるかどうかを特定すること。
• 測定精度と計算複雑性の関係、特にBQPおよびPSPACEとの関係を明らかにすること。
• 通常の局所性および対称性の制約にかかわらず、物理的に実現可能な相互作用が、このような強力な測定を支えることができるかどうかを評価すること。

提案手法

• 著者らは、PSPACE問題を量子ウォークに類似た時間発展によって解く量子回路に対応する4局所観測量の族を構築した。
• 4局所観測量Aの時間発展演算子U_t = exp(-iAt)を用い、誤差がεで有界される量子ゲートを用いて効率的にシミュレート可能であることを示した。
• 測定精度は、固有値の近傍に幅Δλの区間をとったとき、真の固有射影子確率の少なくとも3/4の確率で測定結果が得られるように定義された。
• ユニタリ時間発展U_tに対する量子位相推定手順を適用し、Aの固有値を推定した。誤差を指数関数的に減少させるために必要な実行回数はスケーリングされた。
• 必要な測定精度がO(1/T)であることが示され、ここでTは量子回路の実行時間であり、精度と計算効率を結びつけた。
• 観測量Aのスペクトルギャップに依存する構成により、測定精度がギャップサイズと一致すれば、固有値を高い信頼性で区別できることが保証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4局所nキュービット観測量の正確な測定は、複雑性クラスPSPACEに属する問題を解けるか？
• RQ2 このような観測量を用いてPSPACE問題を確率的に解くために必要な測定精度は何か？
• RQ3 このようなスキームにおいて、誤差確率は測定回数の増加に伴ってどのように変化するか？
• RQ4 4局所観測量の高精度測定の計算的パワーは、既知の複雑性クラス（BQPおよびPSPACE）と整合的か？
• RQ5 局所的で対称的かつペア相互作用構造を持つ物理的に現実的なハミルトニアンですら、PSPACE完全問題をそのスペクトル特性に埋め込むことができるか？

主な発見

• 量子回路の実行時間Tのオーダーでスペクトルギャップを解像できる精度O(1/T)を持つ測定装置は、複数回の測定を繰り返すことで、任意のPSPACE問題を指数関数的に減少する誤差確率で解ける。
• 測定精度がスペクトルギャップサイズと一致する限り、誤差確率は測定繰り返し回数に伴い指数関数的に減少する。
• この構成により、このような測定によるPSPACE問題の解法は、多項式時間の量子回路と定数回の高精度測定のみで実現可能であることが示された。
• この結果は、PSPACE ≠ BQP ならば、一般の4局所観測量の正確な測定をシミュレートする効率的な古典的アルゴリズムは存在しないことを示唆している。
• 著者らは、局所的で対称的かつペア相互作用構造を持つ物理的に現実的なハミルトニアンですら、そのスペクトル特性にPSPACE問題を埋め込むことができると予想しており、量子測定における広範な計算パワーの可能性を示唆している。