[論文レビュー] Measuring 4-local n-qubit observables could probablistically solve PSPACE

Paweł Wocjan, Dominik Janzing+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2004

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、任意の4局所nキュービット観測量を正確に測定できる架空の量子測定装置が、確率的にPSPACEに属するいかなる問題も解けることを示している。測定精度を観測量のスペクトルギャップに比例させることで、繰り返し実行する度に誤差確率が指数関数的に減少し、一般の4局所観測量に対する効率的な測定アルゴリズムが存在すればBQP = PSPACEであることが示唆されるが、これは極めてありえないと考えられている。

ABSTRACT

We consider a hypothetical apparatus that implements measurements for arbitrary 4-local quantum observables A on n qubits. The apparatus implements the “measurement algorithm” after receiving a classical description of A. We show that a few precise measurements, applied to a basis state would provide a probabilistic solution of PSPACE problems. The error probability decreases exponentially with the number of runs if the measurement accuracy is of the order of the spectral gaps of A. Moreover, every decision problem which can be solved on a quantum computer in T time steps can be encoded into a 4-local observable such that the solution requires only measurements of accuracy O(1/T). Provided that BQP6 our result shows that efficient algorithms for precise measurements of general 4-local observables cannot exist. We conjecture that the class of physically existing interactions is large enough to allow the conclusion that precise energy measurements for general many-particle systems require control algorithms with high complexity.

研究の動機と目的

• 4局所量子観測量の正確な測定が、PSPACE問題を確率的に解けるかどうかを調査すること。
• スペクトルギャップと誤差率との関係における測定精度の要件を分析すること。
• このような測定に必要な古典的制御アルゴリズムの複雑さを探索すること。
• 多数体量子系における正確なエネルギー測定の物理的実現可能性に与える影響を検討すること。

提案手法

• 論文は、nキュービット上の4局所観測量Aの古典的記述を受け取る架空の測定装置をモデル化している。
• 装置が計算基底状態に対して高精度の測定プロトコルを用いて射影測定を行うと仮定している。
• この手法は、Aのスペクトルギャップを用いて誤差確率を制限し、測定回数が増えるほど誤差確率が指数関数的に減少することに依存している。
• 量子コンピュータ上でTステップで解ける任意の問題を、Aの期待値を測定することに対応する4局所観測量に符号化している。
• 複雑性理論的推論を用いて測定精度と計算能力の関係を示し、Tステップ問題ではO(1/T)の精度で十分であることを示している。
• このような測定のための制御アルゴリズムの複雑さから、一般の多数体系における正確なエネルギー測定が物理的に非現実的であると推測している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4局所観測量の正確な測定が、PSPACEに属する問題を確率的に解けるか？
• RQ2 このような測定で誤差確率を指数関数的に小さくするには、どの程度の測定精度が必要か？
• RQ3 4局所観測量のスペクトルギャップは、確率的解法における誤差率とどのように関係するか？
• RQ4 すべてのBQPで計算可能な問題を、その解がその観測量の正確な測定のみで得られるような4局所観測量に符号化できるか？
• RQ5 このような測定に必要な古典的制御アルゴリズムの複雑さは、多数体系における正確なエネルギー測定の物理的実現可能性にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 4局所観測量の正確な測定は、誤差確率が測定回数の増加に従って指数関数的に減少するため、PSPACEに属するいかなる問題も確率的に解ける。
• Tステップで解ける問題では、必要な測定精度がO(1/T)に比例する。
• 測定精度が観測量のスペクトルギャップと一致する限り、誤差率は測定回数の指数関数的関数で抑えられる。
• このような精度で一般の4局所観測量を効率的に測定する古典的アルゴリズムが存在するならば、BQP = PSPACEであるが、これは広く誤りであると信じられている。
• 著者らは、一般の多数体系における正確なエネルギー測定に必要な制御アルゴリズムが、物理的に実現可能であるほど単純ではないと推測しており、測定精度に根本的な限界があることを示唆している。