[論文レビュー] Measuring and Analysing Marginal Systemic Risk Contribution using CoVaR: A Copula Approach

Brice Hakwa, Manfred Jäger-Ambrożewicz+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2012

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 35被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、金融機関のシステム全体のリスクへの限界寄与度を測るシステムリスク指標であるCoVaRを計算するためのコプシラベースの解析的枠組みを提案する。CoVaRをマージナル損失分布とコプシラに依存する依存構造の関数として表現することにより、さまざまな分布と依存タイプ（非線形な尾部依存性を含む）に対して閉形式での計算を可能とし、従来の回帰ベースやガウス分布に限定された手法とは対照的に、柔軟で数学的に取り扱いやすい代替手法を提供する。

ABSTRACT

This paper is devoted to the quantification and analysis of marginal risk contribution of a given single financial institution i to the risk of a financial system s. Our work expands on the CoVaR concept proposed by Adrian and Brunnermeier as a tool for the measurement of marginal systemic risk contribution. We first give a mathematical definition of CoVaR_α^{s|L^i=l}. Our definition improves the CoVaR concept by expressing CoVaR_α^{s|L^i=l} as a function of a state l and of a given probability level αrelative to i and s respectively. Based on Copula theory we connect CoVaR_α^{s|L^i=l} to the partial derivatives of Copula through their probabilistic interpretation and definitions (Conditional Probability). Using this we provide a closed formula for the calculation of CoVaR_α^{s|L^i=l} for a large class of (marginal) distributions and dependence structures (linear and non-linear). Our formula allows a better analysis of systemic risk using CoVaR in the sense that it allows to define CoVaR_α^{s|L^i=l} depending on the marginal distributions of the losses of i and s respectively and the copula between L^i and L^s. We discuss the implications of this in the context of the quantification and analysis of systemic risk contributions. %some mathematical This makes possible the For example we will analyse the marginal effects of L^i, L^s and C of the risk contribution of i.

研究の動機と目的

• 従来の手法が失敗する非ガウス的・非線形な依存構造の下でCoVaRを計算するという未解決問題に取り組む。
• 特定の損失状態 $ l $ と信頼水準 $ \alpha $ に依存する関数としてCoVaRを定式化することで、その数学的取り扱いやすさを向上させる。
• コプシラ理論を用いて、マージナル分布と依存構造を統合した一般化された解析的公式 $ \mathrm{CoVaR}_{\alpha}^{s|L^i = l} $ を開発する。
• マージナル損失分布 $ F_s $, $ F_i $ および依存パラメータ $ \rho $ や $ \theta $ の影響を分離することで、システムリスク寄与度の柔軟な分析を可能にする。
• 関連するマクロプリューデンシャルリスク指標、たとえば $ \Delta \mathrm{CoVaR} $, $ \Delta \mathrm{CollVaR} $, および $ \Delta \mathrm{CondVaR} $ の計算基盤を提供する。

提案手法

• アドリアンとブルンナマイヤーの元来の定式化を改善し、$ \mathrm{CoVaR}_{\alpha}^{s|L^i = l} $ を、機関 $ i $ の損失がレベル $ l $ に達している条件の下でのシステムのバリューアットリスクとして、洗練された数学的定義を提示する。
• コプシラ理論を用いて、機関 $ i $ の損失 $ L^i $ とシステム損失 $ L^s $ 間の同時依存関係をモデリングし、線形および非線形な依存関係を柔軟に表現可能にする。
• コプシラ関数の偏微分に基づいて、$ \mathrm{CoVaR}_{\alpha}^{s|L^i = l} $ の閉形式表現を導出する。これは、条件付き確率の確率的解釈を活用している。
• ガウス、t-コプシラ、ガンブル、クラウリスの各コプシラ族に適用し、ガウス、t-およびクラウリス・コプシラに対して明示的な解析的解を導出する。
• ガムベル・コプシラについては、公式は導出可能だが、その逆関数は解析的に解けないため、数値的手法による計算が必要となる。
• 導出された公式から、システムリスク寄与度が、研究対象の機関のマージナル分布 $ F_i $ に依存しないことが示された。これは本研究の重要な洞察である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CoVaRは、特定の損失状態 $ l $ に依存する形に再定義可能であり、単なる分位数に依存するのではなく、数学的に取り扱いやすい形にできるか？
• RQ2 マージナル分布と依存構造の影響を分離できる、一般化された解析的公式 $ \mathrm{CoVaR}_{\alpha}^{s|L^i = l} $ を導出できるか？
• RQ3 ガウス、t-、ガムベル、クラウリスといった異なるコプシラ族は、尾部依存性を含むさまざまな形の依存関係をどのように捉え、CoVaR値にどのように影響を与えるか？
• RQ4 システムのマージナル損失分布 $ F_s $、依存パラメータ $ \rho $ や $ \theta $、および条件付き損失 $ l $ が、得られるCoVaRに与える影響は何か？
• RQ5 この枠組みは、$ \Delta \mathrm{CoVaR} $, $ \Delta \mathrm{CollVaR} $, および $ \Delta \mathrm{CondVaR} $ といった関連するシステムリスク指標の計算に拡張可能か？

主な発見

• コプシラ理論を用いて、広範なマージナル分布および依存構造クラスに対して、$ \mathrm{CoVaR}_{\alpha}^{s|L^i = l} $ の閉形式解析的公式が導出された。
• クラウリス・コプシラの場合、公式は明示的に $ \mathrm{CoVaR}_{\alpha}^{s|L^i = l} = F_s^{-1}\left(\left[\left(\alpha^{-\frac{\theta}{1+\theta}} - 1\right)F_i(l)^{-\theta} + 1\right]^{-\frac{1}{\theta}}\right) $ と与えられ、直接計算が可能である。
• 機関 $ i $ のシステムリスク寄与度は、その自身のマージナル分布 $ F_i $ に依存しないことが、式 (11) で示された。これは直感に反するが、解析的に裏付けられた結果である。
• ガムベル・コプシラモデルは上側尾部依存性（$ \lambda_u > 0 $）を示すが、下側尾部依存性は持たず、そのCoVaR公式は逆関数が明示的に解けないため、数値的逆算が必要となる。
• この枠組みは、線形相関モデルでは捉えきれない非線形的かつ非対称な依存関係、特に尾部依存性を効果的に捉えることができ、従来の回帰ベースやガウス分布に限定された手法に比べて優れている。
• 本手法により、$ \Delta \mathrm{CoVaR} $, $ \Delta \mathrm{CollVaR} $, および $ \Delta \mathrm{CondVaR} $ といった関連するシステムリスク指標に対しても閉形式表現が導出可能であり、マクロプリューデンシャル規制における実用的有用性が拡張される。