[論文レビュー] Measuring Modular Matrices by Shearing Lattices

Yi‐Zhuang You, Meng Cheng|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2015

Topological Materials and Phenomena被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、トーラス上の格子模型におけるトポロジカルオーダーを特徴付けるモジュラー行列 S と T を測定する数値的手法を提案する。この手法は、結合再接続を用いて実装された断熱的 Dehn 変形からの非アーベル Berry位相を計算することで、トポロジカルオーダーを特定する。$p_x + ip_y$ 超伝導体に適用した結果、トポロジカル量子場理論の予測と整合するモジュラー行列が得られ、微視的ハミルトニアンからトポロジカルオーダーを同定する手法の有効性が裏付けられた。

ABSTRACT

A topologically ordered phase on a torus possesses degenerate ground states that transform nontrivially under the modular transformations of the torus, generated by Dehn twists. Representation of modular transformations on the ground states (modular matrices) characterizes the topological order. We show that the modular matrices can be numerically measured as the non-Abelian Berry phase of adiabatic deformations of the lattice model placed on a torus. We apply this method to the example of a gauged $p_x+i p_y$ superconductor, and show that the result is consistent with the topological quantum field theory descriptions.

研究の動機と目的

• 微視的格子ハミルトニアンからトポロジカル相におけるモジュラー行列 S と T を数値的に安定して測定する手法を開発すること。
• 断熱的格子変形（シアー変形）と、モジュラー変換を符号化する非アーベル Berry 位相との直接的な関係を確立すること。
• フェルミオン的トポロジカル超伝導体相において手法を検証し、トポロジカル量子場理論の予測と整合することを確認すること。
• アーベルおよび非アーベル両方のトポロジカルオーダーに一般化可能な、有限サイズ格子上でのフレームワークを提供すること。

提案手法

• トーラス上での結合再接続を用いて、断熱的に格子を変形し、Dehn 変形（シアー変換）を実装する。これは大規模微分同相写像を模倣する。
• 変形中に蓄積される非アーベル Berry 位相 $\Theta$ を計算する。この位相は系のサイズに依存し、$\Theta = \alpha + \beta L^2 + O(L^{-2})$ の形で展開される。
• Berry 位相展開における $L^2$ 項の係数 $\beta$ から、モジュラー $T$ 行列を抽出する。
• トーラスの両サイクルに沿った Dehn 変形の合成 $S = T_y T_x^{-1} T_y$ を用いて、モジュラー $S$ 行列を導出する。
• BdG ハミルトニアンの運動量空間での対角化を用い、Pfaffian を介して多体状態重なりと Berry 位相を効率的に計算する。
• 数値積分における位相追跡の安定化のための参照状態を用い、閉路を回る間の Berry 位相がゲージ不変になるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 断熱的 Dehn 変形と Berry 位相の蓄積を用いて、格子模型からモジュラー行列を抽出できるか？
• RQ2 有限格子上での Berry 位相は系のサイズにどのように依存するか？ また、このスケーリングからどのような普遍的量を抽出できるか？
• RQ3 ゼロのトポロジカルエンタングルメントエントロピーを持つフェルミオン的トポロジカル超伝導体に対して、提案手法は数値的に安定かつ正確か？
• RQ4 測定された $p_x + ip_y$ 超伝導体のモジュラー行列は、トポロジカル量子場理論の予測と一致するか？
• RQ5 同じ Berry 位相係数 $\beta$ から、系のホール粘性を抽出できるか？

主な発見

• Berry 位相のスケーリング $\Theta = \alpha + \beta L^2 + O(L^{-2})$ における係数 $\beta$ は、ホール粘性と直接関係しており、$\beta = -\eta_H$ である。
• 本手法により、$p_x + ip_y$ 超伝導体において、Berry 位相の $L^2$ 依存性からモジュラー $T$ 行列を成功裏に測定できた。
• Dehn 変形の合成から得られた $S$ 行列は、$p_x + ip_y$ 相に対して期待される $S$ 行列と一致し、TQFT との整合性が確認された。
• 希薄極限において、ホール粘性は平均粒子密度 $\bar{n}$ に対して線形に比例し、連続体場理論の予測と一致する。
• エンタングルメントに基づく手法や波動関数重なりの技術を避けて、直接的な幾何位相の蓄積に依存することで、より高いロバストネスと解釈可能性が得られた。
• 断熱的発展中の全位相のドリフトを制御するための参照状態を用いることで、数値的安定性が維持された。