[論文レビュー] Medium-scale curvature at larger radii in finitely generated groups

Robert Kropholler, Brendan Mallery|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の半径における球面および球体比較距離を用いて、有限生成群に対する中規模リッチ曲率を導入する。デッドエンド要素が非負の曲率をもたらすことを示し、ランプライター群およびハウトン群において安定した正の曲率の明示的例を構成する。この曲率概念が非アーベル群においてオリヴィエの離散リッチ曲率とは異なることを示し、最適輸送計画が一般に標準的なGenCon構成によって捉えられないことを明らかにする。

ABSTRACT

In this paper we study medium scale curvature, a notion of Ricci curvature for groups. We show that dead-end elements yield non-negative curvature. We make use of related elements to find large classes of positive curvature in the lamplighter and Houghton's group. We also study the effect of increasing the radius of curvature and give examples of positive curvature for arbitrary radius. Finally we make some comparisons between this notion of curvature and the Ricci curvature introduced by Ollivier.

研究の動機と目的

• 半径1を超える有限生成群におけるリッチ曲率の概念を拡張し、より大きなスケールでの曲率の研究を可能にする。
• 半径1での正の曲率が比較半径を増加させても持続するかどうかを調査する。
• 特にデッドエンド要素を含む自然な群の要素のクラスを同定し、複数の半径で非負の曲率をもたらす仕組みを構築する。
• 提案された曲率概念とオリヴィエの離散リッチ曲率の比較、特に非アーベル群における比較を行う。
• 最適輸送計画が曲率計算に果たす役割を調査し、GenConが最小輸送コストを提供する条件を同定する。

提案手法

• 球面および球体の半径$r$における$w$の平均距離として、$\mathcal{S}_r(x,y)$および$\mathcal{B}_r(x,y)$を定義する。
• 曲率を$\kappa_r^\mathcal{S}(x,y) = \frac{d(x,y) - \mathcal{S}_r(x,y)}{d(x,y)}$により導入し、翻訳による収縮を示す正の曲率を意味する。
• 群の対称性を用いて、曲率計算を$\kappa_r^\mathcal{B}(g) = \kappa_r^\mathcal{B}(e, g)$に簡略化し、語長および共役を用いた解析を容易にする。
• 厳密な深さ$k$を持つデッドエンド要素を分析し、すべての$r < k$に対して$\kappa_r^\mathcal{S}(g) \geq 0$を示す。これにより、非負の曲率をもつ要素を広く構成するメカニズムを確立する。
• ランプライター群$\mathcal{L}_2$およびハウトンの群$H_2$において、任意の半径で安定した正の曲率を持つ明示的例を構成する。
• 輸送コストおよび最適計画の分析を通じて、新しい曲率とオリヴィエの離散リッチ曲率を比較し、非アーベル群において差異が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半径1で正の曲率を示す要素が、比較半径を増加させても正の曲率を保つのか？
• RQ2 有限生成群におけるデッドエンド要素は、より大きな半径で一貫して非負の曲率を生成する仕組みとして利用可能か？
• RQ3 どの群においてGenCon構成が曲率計算の最適輸送計画を提供するのか？
• RQ4 非アーベル群において、提案された中規模曲率はオリヴィエの離散リッチ曲率とどのように異なるのか？
• RQ5 最適輸送計画が群の要素に依存せず一定であるような群は存在するのか、それとも顕著に変化するのか？

主な発見

• 厳密な深さ$k$を持つデッドエンド要素は、すべての比較半径$r < k$に対して非負の曲率を示し、非負の曲率をもつ要素を広く構成する一般的手法を提供する。
• ランプライター群$\mathcal{L}_2$およびハウトンの群$H_2$には、テストされたすべての半径で正の曲率が持続する要素が存在し、大規模スケールでの正の曲率の安定性を示している。
• 自由群$F_n$ではGenCon構成が最小輸送コストを提供するため、オリヴィエの曲率と一致し、この場合で一致が確認される。
• $S_3$において標準的生成子を用いるとき、GenCon構成は最小輸送コストを提供しない。これは、非アーベル群においてオリヴィエの曲率と提案された比較曲率が異なる可能性があることを証明する。
• $\phi_S^r(g)$という、群の要素から$B_r$の最適置換への写像は、常に自明ではない。その構造は$g$に依存し、最適輸送計画が群の要素に依存することを示している。
• 本稿では任意の半径で正の曲率の例を構成し、正の曲率が小スケール幾何の副産物ではなく、大規模スケールでも安定することが示された。