[論文レビュー] Meeting Descartes and Klein Somewhere in a Noncommutative Space

Vladimir V. Kisil|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2001

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 25被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、非可換幾何学においてデカルトの座標幾何とクラインのエルランゲン・プログラムを統一し、座標を代数ではなく群作用の表現空間として扱うことで達成する。非可換座標代数の対称性を用いて、量子力学と古典力学がヘイゼンベルク群のユニタリ表現から同時に導かれる一般化された量子化手続きを導入し、$p$-力学的括弧が交換子とポアソン括弧を統一することを示す。

ABSTRACT

We combine the coordinate method and Erlangen program in the framework of noncommutative geometry through an investigation of symmetries of noncommutative coordinate algebras. As the model we use the coherent states construction and the wavelet transform in functional spaces. New examples are a three dimensional spectrum of a non-normal matrix and a quantisation procedure from symplectomorphisms. Keywords: Heisenberg group, special linear group, symplectic group, Hardy space, Segal-Bargmann space, Clifford algebra, Cauchy-Riemann-Dirac operator, Möbius transformations, functional calculus, Weyl calculus (quantization), quantum mechanics, Schrödinger representation, metaplectic representation.

研究の動機と目的

• 座標を代数から群の表現に移行させることで、非可換幾何におけるデカルトの座標法とクラインのエルランゲン・プログラムを統合すること。
• 非可換座標代数の対称性が表現論を通じて量子力学と古典力学を統一できることを示すこと。
• 位相空間がヘイゼンベルク群の1次元表現の軌道として自然に生じることを示すこと。
• ユニタリ表現の下で量子交換子と古典ポアソン括弧の両方に還元可能な、$p$-力学的括弧による統一的力学の確立。

提案手法

• ヘイゼンベルク群$\mathbb{H}$を基礎対称群とし、$\hbar \neq 0$と$\hbar = 0$のそれぞれに対応するユニタリ表現$\sigma_\hbar$と$\rho_{(p,q)}$を用いる。
• コーヹレント状態とウェーブレット変換を用いて、セガル＝バーグマン空間やハーディ空間などの関数空間を表現空間として実現する。
• 群畳み込みと逆微分を用いて$p$-力学的括弧を定義：$\{k_1,k_2\} = \mathcal{A}(k_1*k_2 - k_2*k_1)$、ここで$\mathcal{A}$は中心変数$s$に関する積分を表す。
• $\mathrm{Sp}(1)$の双対空間$\widehat{\mathbb{H}}$へのシンプレクティック作用$\alpha^*$を、既約表現に引き上げ、$\sigma_\hbar$が固定点であり、$\rho_{(p,q)}$が1つの軌道をなすことを示す。
• 対応原理を用いる：$\hbar \neq 0$の$\sigma_\hbar$表現は$\mathbb{R}^2$に稠密であり、$\hbar = 0$は古典的位相空間に対応する。
• $p$-力学的括弧が、$\sigma_\hbar$では量子交換子$\frac{1}{i\hbar}[\hat{k}_1,\hat{k}_2]$、$\rho_{(p,q)}$では古典ポアソン括弧$\{\hat{k}_1,\hat{k}_2\}$にそれぞれ写像されることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 座標が可換代数を形成すると仮定せずに、非可換幾何においてデカルトの座標法とクラインのエルランゲン・プログラムを統一する方法は何か？
• RQ2 群の表現が非可換座標を定義する役割を果たすとは何か？そして、幾何学における対称性の概念をどのように一般化するのか？
• RQ3 ユニタリ表現によるヘイゼンベルク群の単一の力学的構造から、古典力学と量子力学を導出できるか？
• RQ4 位相空間が、特に1次元表現$\rho_{(p,q)}$の軌道を通じてどのように表現空間として生じるのか？
• RQ5 $p$-力学的括弧が量子力学と古典力学の統一に果たす意義は何か？

主な発見

• ヘイゼンベルク群の1次元表現$\rho_{(p,q)}$の族は、シンプレクティック作用$\alpha^*$の下で1つの軌道をなし、自然に位相空間と同定される。
• $p$-力学的括弧$\{k_1,k_2\}$は、群畳み込みと逆微分を用いて定義され、異なる表現の下で量子交換子と古典ポアソン括弧を統一する。
• シュレーディンガー表現$\sigma_\hbar$の下では、$p$-力学的括弧は$\hbar \neq 0$に対して量子交換子$\frac{1}{i\hbar}[\hat{k}_1,\hat{k}_2]$を生成する。
• 1次元表現$\rho_{(p,q)}$の下では、$p$-力学的括弧は古典ポアソン括弧$\frac{\partial\hat{k}_1}{\partial q}\frac{\partial\hat{k}_2}{\partial p} - \frac{\partial\hat{k}_1}{\partial p}\frac{\partial\hat{k}_2}{\partial q}$を生成する。
• $\hbar \neq 0$の表現$\sigma_\hbar$は$\mathbb{R}^2$に稠密であり、量子力学と古典力学の対応原理の位相的実現を提供する。
• $\widehat{\mathbb{H}}$における負の$\hbar$値は、シュレーディンガー方程式における時間反転の結果、反粒子に対応すると予想され、双対空間のより深い物理的解釈を示唆する。