[論文レビュー] Mellin convolution operators in Bessel potential spaces with admissible meromorphic kernels

Roland Duduchava|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、バナッハ代数的手法と可換子解析を用いて、バノッハ・ポテンシャル空間における適切なメロモルフィック核を有するメリン畳み込み作用素のフレドホルム理論および有界性特性を確立する。主たる貢献は、重み付きバノッハ・ポテンシャル空間およびソボレフ–スロボデイジスキー空間におけるフレドホルム性の記述とインデックス公式の記号に基づく基準を、上昇および補間法を用いて、古典的結果を核に極を有する作用素へ拡張することにある。

ABSTRACT

The paper is devoted to Mellin convolution operators with meromorphic kernels in Bessel potential spaces. We encounter such operators while investigating boundary value problems for elliptic equations in planar 2D domains with angular points on the boundary. Our study is based upon two results. The first concerns commutants of Mellin convolution and Bessel potential operators: Bessel potentials alter essentially after commutation with Mellin convolutions depending on the poles of the kernel (in contrast to commutants with Fourier convolution operatiors.) The second basic ingredient is the results on the Banach algebra $\mathfrak{A}_p$ generated by Mellin convolution and Fourier convolution operators in weighted $\mathbb{L}_p$-spaces obtained by the author in 1970's and 1980's. These results are modified by adding Hankel operators. Examples of Mellin convolution operators are considered. The first version of the paper was published in {\em Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics} {\bf 60}, 135-177, 2013. The formulations and proofs there contain fatal errors, which are improved in the present preprint. Part of the results, obtained with V. Didenko, are published in the preprint

研究の動機と目的

• メリン畳み込み作用素がバノッハ・ポテンシャル空間に作用する場合のフレドホルム理論の構築。
• メリン畳み込み作用素とバノッハ・ポテンシャル作用素との間の可換子構造の分析を行い、核に極が存在する場合、バノッハ・ポテンシャルの挙動がどのように変化するかを示すこと。
• ハンケル作用素を組み込み、既知のバナッハ代数の結果を修正することにより、フーリエ畳み込み作用素の古典的理論をメリン設定へ拡張すること。
• 重み付きルベーグ空間およびバノッハ・ポテンシャル空間におけるメリン畳み込み作用素の有界性および上昇特性の確立。
• 補間および正則化子技法を用いて、ソボレフ–スロボデイジスキー空間におけるフレドホルム性の記号基準およびインデックス公式の導出。

提案手法

• メリン畳み込み方程式を $ \mathbb{R}^+ $ 上で定義されたものから、$ \mathbb{R} $ 上のフーリエ畳み込み方程式に写像するための指数変換 $ Z_{\beta} $ および $ Z^{-1}_{\beta} $ の使用。
• 変換された核のフーリエ変換を用いて、バノッハ・ポテンシャル空間におけるメリン畳み込み作用素の記号 $ \mathcal{A}^s_p(\xi, \infty) $ を導出。
• 局所原理を適用して、グローバルなフレドホルム性質を原点における局所的逆可換性条件に還元すること。
• 可換子技法およびバノッハ・ポテンシャル理論を用いて、$ \widetilde{\mathbb{H}}^s_p(\mathbb{R}^+) \to \mathbb{H}^s_p(\mathbb{R}^+) $ 上の上昇作用素 $ \mathbf{A} $ の構成。
• バノッハ・ポテンシャル空間間の実補間を用いて、結果をソボレフ–スロボデイジスキー（ベソフ）空間 $ \mathbb{W}^s_p = \mathbb{B}^{s}_{p,p} $ へ拡張すること。
• クラスノスェルスキー補間定理を用いて、誤差項のコンパクト性を保ち、補間空間におけるフレドホルム性を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メリン畳み込み作用素がメロモルフィック核を有する場合、バノッハ・ポテンシャル作用素と可換化されるとき、フーリエ畳み込みの場合とはどのように異なるか？
• RQ2 バノッハ・ポテンシャル空間におけるメリン畳み込み作用素の記号は何か？ そして、それがフレドホルム性をどのように決定するか？
• RQ3 重み付きバノッハ・ポテンシャル空間における原点での局所的逆可換性が成立する条件は何か？
• RQ4 フレドホルム性およびインデックスは、バノッハ・ポテンシャル空間からソボレフ–スロボデイジスキー空間へどのように拡張可能か？
• RQ5 ハンケル作用素は、メリンおよびフーリエ畳み込み作用素のバナッハ代数枠組みにおいて、どのような役割を果たすか？

主な発見

• 上昇作用素 $ \mathbf{A} $ の記号 $ \mathcal{A}^s_p(\omega) $ が $ \Gamma_1 $ 上で楕円的であることは、$ \inf_{\xi \in \mathbb{R}} |\det \mathcal{A}^s_p(\xi, \infty)| > 0 $ であることと同値であり、これは原点における局所的逆可換性を特徴付ける。
• $ \mathbf{A} : \widetilde{\mathbb{H}}^s_p(\mathbb{R}^+) \to \mathbb{H}^s_p(\mathbb{R}^+) $ がフレドホルムであることは、その記号が楕円的であることと同値であり、インデックスは $ \operatorname{Ind} \mathbf{A} = -\operatorname{ind} \det \mathcal{A}^s_p $ で与えられる。
• 実補間を用いることでフレドホルム性およびインデックス公式が保たれるため、$ s \in (s_0, s_1) $、$ p \in (p_0, p_1) $ の範囲で $ \mathbf{A} : \widetilde{\mathbb{W}}^s_p(\mathbb{R}^+) \to \mathbb{W}^s_p(\mathbb{R}^+) $ は同じインデックスを有するフレドホルム作用素である。
• ハンケル作用素とフーリエ畳み込み成分を統合した修正バナッハ代数 $ \mathfrak{A}_p $ を用いることで、メリン畳み込み作用素の有界性および上昇特性が確立された。
• メリン畳み込み作用素とバノッハ・ポテンシャル作用素の可換子は、核の極の存在により不変でない。これはフーリエの場合とは異なり、スペクトル構造が根本的に変化することを意味する。
• この理論は、固定された特異点を有する局所化された積分方程式から自然に生じる、角を持つ2次元領域における境界値問題に適用可能である。