[論文レビュー] Mellin transforms with only critical zeros: generalized Hermite functions

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2013

Mathematical functions and polynomials参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、μ > -1/2 でパラメータ化された一般化されたエルミート関数のメリン変換を調査し、その結果得られる多項式因子がスケーリングおよびシフトされたマイエンスナー＝ポラーツェク多項式に比例することを示している。これらの多項式はすべての零点を Re(s) = 1/2 の臨界線上に持つため、超幾何関数および関数方程式を通じて特殊関数論とリーマン予想を直接結びつける。

ABSTRACT

We consider the Mellin transforms of certain generalized Hermite functions based upon certain generalized Hermite polynomials, characterized by a parameter $μ>-1/2$. We show that the transforms have polynomial factors whose zeros lie all on the critical line. The polynomials with zeros only on the critical line are identified in terms of certain $_2F_1(2)$ hypergeometric functions, being certain scaled and shifted Meixner-Pollaczek polynomials. Other results of special function theory are presented.

研究の動機と目的

• パラメータ μ > -1/2 を用いて定義される一般化されたエルミート関数のメリン変換を分析すること。
• これらの変換に現れる多項式因子を特定し、その零点分布を同定すること。
• これらの多項式と、臨界線上に零点を持つ既知の直交多項式との間の関係を確立すること。
• 超幾何恒等式を用いて、得られる多項式の関数方程式および対称性の性質を調査すること。
• 解析的数論およびリーマン予想に関連する、すべての零点が臨界線上にある多項式を構築するための枠組みを提供すること。

提案手法

• ラゲール多項式および退化超幾何関数を用いた表現を通じて、一般化されたエルミート関数のメリン変換を導出する。
• 多項式因子を終結超幾何関数 $_2F_1(2)$ として表現し、具体的には $_2F_1(-n, (μ+s)/2; μ+1/2; 2)$ とする。
• 超幾何変換恒等式を用いて、多項式因子がスケーリングおよびシフトされたマイエンスナー＝ポラーツェク多項式として特定される。
• メリン変換のプランシュレル関係を適用し、重み関数 $|\Gamma((\mu+s+\varepsilon)/2)|^2$ が直交性測度に対応することを示す。
• マイエンスナー＝ポラーツェク多項式の既知の直交性および零点分離性の性質を用いて、零点が臨界線上にあり、かつ単純であることを導く。
• 臨界線に関する対称性を示す関数方程式 $P_n^\alpha(s) = (-1)^n P_n^\alpha(1-s)$ を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたエルミート関数のメリン変換は、すべての零点が臨界線 Re(s) = 1/2 上にある多項式因子を生成するか？
• RQ2 得られる多項式因子は、既知の零点分布を持つ古典的直交多項式で表現可能か？
• RQ3 メリン変換多項式の関数方程式構造は何か？ そして、臨界線上の対称性とどのように関連するか？
• RQ4 多項式因子の超幾何関数表現は、マイエンスナー＝ポラーツェク多項式とどのように接続されるか？
• RQ5 多項式因子の零点は単純か？ また、直交多項式理論が予測するように、零点が交互に配置されるか？

主な発見

• 一般化されたエルミート関数のメリン変換は、多項式因子を生成し、それらはマイエンスナー＝ポラーツェク多項式 $P_n^{(\mu+\varepsilon)/2+1/4}\left[i(1/4 - s/2); \pi/2\right]$ に比例する。
• 多項式因子のすべての零点は、臨界線 Re(s) = 1/2 上に存在する。これは直交性およびマイエンスナー＝ポラーツェク多項式の既知の性質によって確認された。
• 多項式因子は関数方程式 $P_n^\alpha(s) = (-1)^n P_n^\alpha(1-s)$ を満たし、臨界線に関する対称性を示している。
• 連続する多項式因子 $p_n^\mu(1/2+it)$ および $p_{n+1}^\mu(1/2+it)$ の零点は、臨界線上で交互に配置され、直交多項式の特徴的性質である。
• 多項式因子は $_2F_1(2)$ 超幾何関数として表現され、その変換恒等式により零点が臨界線上に位置することを裏付けている。
• メリン変換のプランシュレル関係により、重み $|\Gamma((\mu+s+\varepsilon)/2)|^2$ が直交性測度に対応することが確認され、零点分布の妥当性が裏付けられた。