[論文レビュー] Membrane paradigm of the static black bottle

Li Li, Towe Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2017

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、漸近的に反ドシンター時空における静的なブラックボトルに対して、膜仮説を一般化する。ここでは、引き伸ばされた視界の法線ベクトルに非ゼロの加速度が存在するが、標準的なゼロ加速度仮定とは異なる。それでも、膜のストレssテンソルは変更されておらず、近視界極限において流体連続の式とナビエ＝ストークス方程式が満たされることを示し、非球対称なブラックホール解に対しても膜仮説の強靭性を裏付けた。

ABSTRACT

In the membrane paradigm of black holes, it is usually assumed that the normal vector of the stretched horizon has a vanishing acceleration. This assumption breaks down for black bottles, a class of solutions discovered recently in the asymptotically anti-de Sitter spacetime. In this paper, the membrane paradigm is generalized to the stretched horizon with a nonvanishing acceleration of normal vector, and then it is applied to the static black bottle. In this example, the membrane stress tensor and the fluid quantities are similar to those of black holes, while the fluid continuity equation and the Navier-Stokes equation are well satisfied in the near-horizon limit.

研究の動機と目的

• 漸近的に反ドシンター時空における静的なブラックボトルに膜仮説を拡張すること。ここでは、引き伸ばされた視界の法線ベクトルに非ゼロの加速度が存在する。
• 標準的な膜仮説（法線ベクトルの加速度がゼロであるという仮定）が、このような解に対しても有効であるかどうかを調査すること。
• 非ゼロ加速度が存在するにもかかわらず、近視界極限において流体方程式（連続の式およびナビエ＝ストークス方程式）が満たされることを検証すること。
• 非ゼロ法線ベクトル加速度下でも、膜のストレssテンソルが不変のままであることを示すこと。
• ブラックホールやブラックブレーンと同様に、引き伸ばされた視界の流体力学的記述を確立すること。

提案手法

• 引き伸ばされた視界の幾何学的解析を容易にするために、静的なブラックボトル解を球座標系に再定式化する。
• 時間的生成子 $u^a$ および空間的法線 $n^a$ を定義することで、$2+1+1$ 時空分割を実行する。
• 膜上での曲率 $K_{ab}$ および誘導計量 $h_{ab}$ を計算し、エネルギー密度 $\rho$、圧力 $p$、せん断 $\sigma^{AB}$、拡張度 $\theta$ などの流体量を導出する。
• 表面重力の評価と、引き伸ばされた視界が真のイベントホライズンに近づく極限の解析のため、Eddington-Finkelsteinに類似した座標系を導入する。
• 表面項を含む作用に基づく手法を用いて膜のストレssテンソルを導出し、法線ベクトルの加速度に依存しないことを検証する。
• 導出された流体量を用いて、近視界極限における流体方程式（連続の式およびナビエ＝ストークス方程式）を明示的に検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 法線ベクトルの加速度がゼロでない引き伸ばされた視界を持つ静的なブラックボトルに対して、膜仮説を一貫して適用できるか？
• RQ2 引き伸ばされた視界の法線ベクトルに非ゼロの加速度が存在する場合、膜のストレssテンソルは変化しないか？
• RQ3 静的なブラックボトルの近視界極限において、流体連続の式およびナビエ＝ストークス方程式は依然満たされるか？
• RQ4 膜上での流体量（密度、圧力、せん断、拡張度）は、標準的なブラックホールやブラックブレーンのそれらとどのように比較できるか？
• RQ5 Plebański-Demiańskiに類似た座標系は、ブラックボトルの膜仮説の簡略化に果たす役割は何か？

主な発見

• 一般相対性理論における膜のストレssテンソルは、$a^b \neq 0$ の一般的変分により、法線ベクトルの非ゼロ加速度によって補正されないことが示された。
• エネルギー密度 $\rho = \frac{1}{8\pi G L(x-y)} Q(y)$、圧力 $p = -\frac{1}{32\pi G L} \left[ \frac{2}{x-y} Q(y) + \partial_y Q(y) \right]$、せん断 $\sigma^{AB} = 0$、拡張度 $\theta = -\frac{1}{L(x-y)} Q(y)$ である膜上の流体量は、明確に定義されており、標準的なブラックホール膜のそれらと類似している。
• 近視界極限（$\alpha \to 0$）において、流体連続の式およびナビエ＝ストークス方程式が満たされることを確認し、流体力学的一致性を裏付けた。
• 表面重力は $g_{\mathcal{H}} = -\frac{1}{4L} \left[ \frac{2}{x-y} Q(y) + \partial_y Q(y) \right]$ で与えられ、流体方程式の源項と一致する。
• 動粘性係数 $\eta = \frac{1}{16\pi G}$ および体積粘性係数 $\zeta = -\frac{1}{16\pi G}$ は定数であり、標準的な膜仮説におけるそれらと類似している。
• Plebański-Demiańskiに類似た座標系でも結果が再現可能であり、座標系に依存しない形式の強靭性が確認された。