[論文レビュー] Memory in a nonlocally damped oscillator

Dariusz Chruściński, Jacek Jurkowski|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2007

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、tanh(γ(t−t₀)) を含む時間非局所的減衰項によって記述される非局所的減衰振動子を提案する。この項は初期時刻 t₀ を基本的パラメータとして固定することで、系に記憶効果を導入する。標準的な減衰振動子とは異なり、このモデルは古典的ハミルトニアン力学および量子伝播子の両方において局所的合成則を破り、波動関数の広がりが有限な漸近的幅を超えない非局所的量子力学的進化をもたらす。自由量子系とは対照的に、波動関数の広がりが制限される。

ABSTRACT

We analyze the new equation of motion for the damped oscillator. It differs from the standard one by a damping term which is nonlocal in time and hence it gives rise to a system with memory. Both classical and quantum analysis is performed. The characteristic feature of this nonlocal system is that it breaks local composition low for the classical Hamiltonian dynamics and the corresponding quantum propagator.

研究の動機と目的

• 時間非局所的減衰項を用いて記憶効果を組み込んだ、減衰振動子の新しい運動方程式の構築を目的とする。
• この非局所系の古典的および量子的力学を分析し、特に局所的合成則の破綻に注目する。
• 非局所系の量子伝播子を導出し、標準的な Caldirola-Kanai 伝播子と比較する。
• 記憶効果が量子力学における波動関数の広がりの長時間的挙動にどのように影響するかを調査する。

提案手法

• 修正された運動方程式 $\ddot{x} + 2\gamma\tanh(\gamma(t-t_0))\dot{x} + \omega^2 x = 0$ を導入。ここで $t_0$ は固定された初期時刻であり、非局所性を導入する。
• 時間依存質量 $m(t) = m_0 \cosh^{-2}(\gamma(t-t_0))$ を用いて古典的ハミルトニアン形式を導出し、非局所的ハミルトニアンを得る。
• 非局所的ハミルトニアンの時間順序指数を用いて量子伝播子を構成し、非局所的伝播子 $K(x,t;t_0)$ を得る。
• 2次ハミルトニアン形式を用いて、位相因子 $B(x,t;t_0)$ を含む伝播子の明示的表現を導出する。
• ガウス型波動関数の時間発展を詳細に分析し、広がりの挙動を検討する。
• 確率密度の漸近的挙動を標準的な Caldirola-Kanai モデルと比較し、局在化の違いを強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 tanh(γ(t−t₀)) を用いた非局所的減衰項を導入することで、減衰振動子の力学的挙動はどのように変化するか？
• RQ2 この系の古典的および量子的力学がなぜ局所的合成則を破るのか。その意味は何か？
• RQ3 記憶パラメータ $t_0$ は系の時間発展およびその量子伝播子にどのように影響を与えるか？
• RQ4 この非局所的量子系におけるガウス型波動関数の長時間的挙動は何か。自由系や Caldirola-Kanai 系とはどのように異なるか？
• RQ5 本稿で導出した非局所的量子伝播子は、標準的減衰振動子から得られた既知の幾何的導出と結びつけることができるか？

主な発見

• 非局所的減衰項 $2\gamma\tanh(\gamma(t-t_0))\dot{x}$ は記憶効果を導入し、$t_0$ を初期時刻として固定することで、古典的および量子的力学の両方における局所的合成則を破る。
• 非局所的ハミルトニアンから導かれた量子伝播子 $K(x,t;t_0)$ は、標準的な Caldirola-Kanai 伝播子とは異なり、局所的合成則 $K(x_2,t_2;x_0,t_0) = \int dx_1 K(x_2,t_2;x_1,t_1)K(x_1,t_1;x_0,t_0)$ を満たさない。
• ガウス型波動関数に対して、確率密度 $\rho(x,t;t_0)$ は漸近的に有限な幅 $\sigma_{\rm asympt} = \sigma \left[1 + \left(\frac{\hbar}{m_0\gamma\sigma}\right)^2\right]$ に収束し、完全な広がりを防ぐ。
• 漸近的位置は $x_{\rm asympt} = x_0 + \frac{p_0}{m_0\gamma}$ であり、Caldirola-Kanai 結果 $x_{\rm CK, asympt} = x_0 + \frac{p_0}{2m_0\gamma}$ とは異なる。
• 非局所的伝播子は、最近得られた標準的減衰振動子からの幾何的伝播子と一致し、方程式 (2) の非局所的微分方程式に由来する物理的起源を裏付ける。
• 系の力学は非局所的ハミルトニアンに支配され、時間発展はマルコフ的でない。未来の状態は初期時刻 $t_0$ に依存する。