[論文レビュー] Menon's identity and arithmetical sums representing functions of several variables

László Tóth|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 14被引用数 40

ひとこと要約

本稿は、複数変数関数を含む算術的和に関してメンオンの恒等式を一般化し、互いに素な法における最大公約数の重み付き和を、複数変数の乗法的関数として表す新しい恒等式を導出する。主な貢献は、任意の順序を持つ有限個の巡回群の直積における巡回部分群の数に対する閉形式の公式であり、古典的結果を拡張し、高次元におけるメンオン型恒等式を統一的に扱う枠組みを提供する。

ABSTRACT

We generalize Menon's identity by considering sums representing arithmetical functions of several variables. As an application, we give a formula for the number of cyclic subgroups of the direct product of several cyclic groups of arbitrary orders. We also point out extensions of Menon's identity in the one variable case, which seems to not appear in the literature.

研究の動機と目的

• メンオンの恒等式を単一変数から多変数算術関数へ拡張すること。
• 任意の順序を持つ有限個の巡回群の直積における巡回部分群の数に対する一般式を導出すること。
• 群作用と数論的技法を用いて、既存のメンオン型恒等式を統一・一般化すること。
• 乗法的関数を用いて、p群および一般アーベル群における巡回部分群の数の明示的公式を提供すること。

提案手法

• 乗法的関数の性質とディリクレ畳み込みを用いて、k が M と互いに素である範囲で ∑gcd(k−a₁,m₁)⋯gcd(k−aᵣ,mᵣ) の形の一般化されたメンオン型恒等式を導出する。
• コーシー＝フロベニウスの補題（バーンサイドの補題）をアーベル群への群作用に適用し、固定点の数を用いて巡回部分群を数える。
• 同時合同式の可解性条件を符号化する関数 η^(a)(d₁,…,dᵣ) を導入し、和の整数性を保証する。
• 最小公倍数とオイラーのトーティエント関数の構造を用いて、和を除数に関する有限乗法的和として表現する。
• 中国剰余定理とp進分解を用いて、問題を素数べきの場合に還元する。
• ジョルダンのトーティエント関数と乗法的算術関数を用いて、多項式およびべき関数に対する既知の恒等式を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メンオンの恒等式は、複数変数関数へどのように一般化できるか？
• RQ2 任意の順序を持つ r 個の巡回群の直積における巡回部分群の数は何か？
• RQ3 k が M と互いに素である範囲で ∑gcd(k−a₁,m₁)⋯gcd(k−aᵣ,mᵣ) は、複数変数の乗法的関数として表現可能か？
• RQ4 i=1,…,r に対して、同時合同式 gcd(k−aᵢ,mᵢ)=dᵢ を満たす解の構造は何か？
• RQ5 単一変数におけるメンオン型和の既知の恒等式は、多変数設定へどのように拡張できるか？

主な発見

• C_{m₁}×⋯×C_{mᵣ} における巡回部分群の数は、c(G) = ∑_{dᵢ|mᵢ} φ(d₁)⋯φ(dᵣ)/φ(lcm[d₁,…,dᵣ]) で与えられ、r 変数の乗法的関数である。
• 2つの巡回群に対して、c(C_{m₁}×C_{m₂}) = ∑_{d₁|m₁, d₂|m₂} φ(gcd(d₁,d₂)) が成り立つ。
• p群に対して、c(C_{pᵘ}×C_{pᵛ}) = 2(1+p+⋯+p^{v−1}) + (u−v+1)pᵛ （u≥v のとき）である。
• 奇数 n と g(x)=xʲ−1 に対して、∑_{gcd(k,n)=1} gcd(kʲ−1,n) = φ(n)∏_{d|j} τ(n_d^d) が成り立つ。ここで n_d は、p≡1 mod d を満たす素数の積である。
• j=6 かつ奇数 n のとき、∑_{gcd(k,n)=1} gcd(k⁶−1,n) = φ(n)τ(A⁶)τ(B²) が成り立つ。ここで A は n に含まれる 6 で割って 1 余る素数の積であり、B=n/A である。
• ∑_{k≤M, gcd(k,M)=1} gcd(k−a₁,m₁)⋯gcd(k−aᵣ,mᵣ) は φ(M) で割り切れ、η^(a)(d₁,…,dᵣ) を含む除数に関する有限和として表される。ここで η^(a)(d₁,…,dᵣ) は、可解性および互いに素性の条件が満たされる場合に限り 1 である。