[論文レビュー] Mercer's inequality for h-convex functions

Mohammad W. Alomari|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2017

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、h-超乗法的関数を用いた重み付き不等式を導入することで、メルサールの不等式をh-凸関数へ一般化し、古典的なジェンセンの不等式および三角不等式を拡張する。主な結果は、h-凸関数の重み付き平均に対する上界を提供し、ノルム空間やhおよび重みに関する特定の条件下での改良された三角不等式への応用を含む。

ABSTRACT

A generalization of Mercer inequality for h-convex function is presented. As application, a weighted generalization of triangle inequality is given.

研究の動機と目的

• 凸関数からのメルサールの不等式をh-凸関数へ拡張し、凸解析における古典的結果を一般化すること。
• 重み関数hに関する条件下で、h-凸関数を含む重み付き不等式を確立すること。
• 極端な点の列を用いた新しい上界を導入することで、h-ジェンセン不等式の逆転を改良すること。
• ノルム空間における応用を示し、h-凸性を用いて三角不等式を一般化すること。

提案手法

• 非負の超乗法的関数hを用いて定義されるh-凸関数に基づき、メルサールの不等式の一般化を導入する。
• h-凸性の条件 f(αx + βy) ≤ h(α)f(x) + h(β)f(y) を α + β = 1 および α, β ∈ (0,1) で適用する。
• ∑h(wₖ/Wₙ) ≤ 1 の制約の下で、x_k の重み付き平均および極端な値 x₁ と xₙ の間の重み付き不等式を導出する。
• xₖ と yₖ = x₁ + xₙ − xₖ の中点対称性を用いて、h-凸性を適用し、主な不等式を導出する。
• h が部分乗法的で f が h-凹性を満たす場合、∑h(wₖ/Wₙ) ≥ 1 の条件下で不等式を逆転させる。
• 絶対値関数 f(x) = |x| および h(t) = t を適用し、ノルム空間における三角不等式の改良を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超乗法的重み関数hを用いて、メルサールの不等式をh-凸関数へどのように拡張できるか？
• RQ2 hおよび重みwₖにどのような条件を課すと、h-凸関数に対する一般化されたメルサールの不等式が成立するか？
• RQ3 一般化された不等式は、h-ジェンセン不等式の逆転を改良できるか？
• RQ4 不等式は、ノルム空間における改良された三角不等式を導くように特殊化されるか？
• RQ5 f が h-凹性を満たし、h が部分乗法的である場合、不等式にどのような意味が生じるか？

主な発見

• 主な不等式は、h が超乗法的で f が h-凸関数であるとき、∑h(wₖ/Wₙ) ≤ 1 を満たす限り、f(x₁ + xₙ − (1/Wₙ)∑wₖxₖ) ≤ f(x₁) + f(xₙ) − ∑h(wₖ/Wₙ)f(xₖ) が成り立つ。
• h が部分乗法的で f が h-凹性を満たす場合、∑h(wₖ/Wₙ) ≥ 1 の条件下で不等式は逆転する。
• 不等式は、f(x₁), f(xₙ), および f(x₁ + xₙ − (1/Wₙ)∑wₖxₖ) を用いた ∑h(wₖ/Wₙ)f(xₖ) の上界を提供することで、h-ジェンセン不等式を改良する。
• f(x) = |x| および h(t) = t の場合、不等式は ∑wₖ|xₖ| ≤ |x₁| + |xₙ| − |x₁ + xₙ − ∑wₖxₖ| に簡略化され、三角不等式が改良される。
• f(x) = ||x|| を線形空間 L の x に対して定義することで、ノルムへの一般化が可能となり、h-凸性制約の下で重み付き三角不等式が得られる。
• 証明は、中点対称性と h の超乗法性に依拠し、f(yₖ) = f(x₁ + xₙ − xₖ) の上界を h-凸性および h の和に関する仮定を用いて評価する。