[論文レビュー] Meromorphic almost periodic functions

S. Favorov, Natalia D. Parfyonova|ArXiv.org|Jan 28, 2007

Meromorphic and Entire Functions被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、複素帯上におけるメロモーレィックなほぼ周期的関数を導入し、球面距離を用いることで、解析的ほぼ周期的関数の一般化を行う。すべてのメロモーレィックなほぼ周期的関数が、二つの解析的ほぼ周期的関数の商であることを証明し、このような関数に対するボフマンの基準を確立し、それらに由来する零点および極の集合（除数）の完全な特徴付けを提供する。その結果、それらの除数は、ほぼ周期的かつ等しい「c-除数不変量」を持つことが示される。

ABSTRACT

We study meromorphic functions in a strip almost periodic with respect to the spherical metric. Then we get a complete description of zeros and poles for this class of functions, find a condition for a meromorphic almost periodic function to be a quotient of two holomorphic almost periodic function, find a necessary and suficient condition for sum and product of almost periodic meromorphic functions to be almost periodic.

研究の動機と目的

• 複素帯上におけるメロモーレィックなほぼ周期的関数を、球面距離を用いて定義し、それらを研究すること。
• メロモーレィックなほぼ周期的関数のクラスが加法および乗法に関して閉じているかどうかを調査すること。
• メロモーレィックなほぼ周期的関数に対応する除数（零点および極の集合）の特徴付けを確立すること。
• すべてのメロモーレィックなほぼ周期的関数が、二つの解析的ほぼ周期的関数の商であることを証明すること。
• 与えられた零点および極の集合がメロモーレィックなほぼ周期的関数のものであるための条件を提供すること。

提案手法

• 帯の部分領域 S′⊂⊂S における ε-S′-ほぼ周期の相対的密度を、球面距離を用いて定義することで、メロモーレィックなほぼ周期的関数を定義する。
• コンパクト集合上で球面距離に関する一様連続性を用いて、摂動を制御する。
• 逐次的収束による移動の収束性を特徴付けるボフマンの基準を、メロモーレィックなほぼ周期的関数の特徴付けに応用する。
• 先行研究（例：[11,12]）におけるほぼ周期的除数およびその「c-除数不変量」に関する結果を活用し、零点および極の集合を分析する。
• 実ベクトル空間 R ∧_Z R の構造を用いて、除数の c-不変量を特徴付け、それが指定された零点集合を持つ解析的ほぼ周期的関数の存在と関連することを明らかにする。
• 除数 d がメロモーレィックなほぼ周期的関数の除数であるための必要十分条件は、(i) 零点集合と極集合が分離されていること、(ii) 両者がほぼ周期的除数であること、(iii) それらの c-不変量が等しいことである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メロモーレィックなほぼ周期的関数のクラスは、球面距離および部分帯におけるほぼ周期の相対的密度を用いて特徴付け可能か？
• RQ2 二つのメロモーレィックなほぼ周期的関数の和または積は、必ずしもメロモーレィックなほぼ周期的関数であるか？
• RQ3 分離されたほぼ周期的集合のペアが、メロモーレィックなほぼ周期的関数の零点および極の集合であるための条件は何か？
• RQ4 すべてのメロモーレィックなほぼ周期的関数は、二つの解析的ほぼ周期的関数の商として表せるか？
• RQ5 c-不変量が、除数がメロモーレィックなほぼ周期的関数から生じるかどうかを決定する上で果たす正確な役割は何か？

主な発見

• 加法および乗法に関して閉じていないことが、sin(√2πz) と 1/sin(πz) を用いた反例によって示された。
• すべてのメロモーレィックなほぼ周期的関数は、二つの解析的ほぼ周期的関数の商である。これは、構造的結果として重要な意義を有する。
• メロモーレィックなほぼ周期的関数の一様極限は、再びメロモーレィックなほぼ周期的関数である。これは、一様収束に関しての閉包性を保証する。
• メロモーレィックなほぼ周期的関数の零点および極は、任意の部分帯 S′⊂⊂S に対して、inf{|z−z′| : z∈N, z′∈P} > δ(S′,f) > 0 を満たす意味で分離されたほぼ周期的集合を形成する。
• 帯 S 内の除数 d がメロモーレィックなほぼ周期的関数の除数であるための必要十分条件は、(i) 零点集合と極集合が分離されていること、(ii) 両者がほぼ周期的除数であること、(iii) それらの c-不変量が等しいことである。
• 除数 d の c-不変量は R ∧_Z R の元であり、c(d⁺) = c(d⁻) であることは、除数 d を持つメロモーレィックなほぼ周期的関数が存在するための必要十分条件である。