[論文レビュー] Meromorphic open-string vertex algebras and Riemannian manifolds

Yi-Zhi Huang|ArXiv.org|May 14, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 4被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、リーマン多様体 $M$ 上の層の切断として、共変微分と平行テンソル場を用いて、メロモーフィックなオープンストリング頂点代数 $V_M$ 及びその加群 $W_M$ を構成する。主な結果は、$M$ 上のラプラシアン $ abla$ が、$W_M$ 内の滑らかな関数に作用する頂点作用素の成分として現れることであり、幾何的微分作用素の頂点代数的実現を提供する。

ABSTRACT

Let $M$ be a Riemannian manifold. For $p\in M$, the tensor algebra of the negative part of the (complex) affinization of the tangent space of $M$ at $p$ has a natural structure of a meromorphic open-string vertex algebra. These meromorphic open-string vertex algebras form a vector bundle over $M$ with a connection. We construct a sheaf $\mathcal{V}$ of meromorphic open-string vertex algebras on the sheaf of parallel sections of this vector bundle. Using covariant derivatives, we construct representations on the spaces of complex smooth functions of the algebras of parallel tensor fields. These representations are used to construct a sheaf $\mathcal{W}$ of left $\mathcal{V}$-modules from the sheaf of smooth functions. In particular, we obtain a meromorphic open-string vertex algebra $V_{M}$ of the global sections on $M$ of the sheaf $\mathcal{V}$ and a left $V_{M}$-module $W_{M}$ of the global sections on $M$ of the sheaf $\mathcal{W}$. By the definitions of meromorphic open-string vertex algebra and left module, we obtain, among many other properties, operator product expansion for vertex operators. We also show that the Laplacian on $M$ is in fact a component of a vertex operator for the left $V_{M}$-module $W_{M}$ restricted to the space of smooth functions.

研究の動機と目的

• 2次元の非線形シグマ模型を頂点代数的構造を用いて数学的に枠組みづけること。
• 代数的幾何学と表現論を用いて、曲がった標的空間を持つ量子場理論を構築する課題に取り組むこと。
• リーマン多様体上のラプラシアンを頂点代数的枠組み内での頂点作用素の成分として実現すること。
• 平行切断と共変微分を用いて、平坦空間から曲がった多様体への頂点代数の構成を拡張すること。
• 滑らかな関数上の $M$ 上の層の理論的構成を通じて、メロモーフィックなオープンストリング頂点代数およびその加群を構成すること。

提案手法

• 接空間の複素アフィニゼーションの負部のテンソル代数を用いて、$M$ 上にメロモーフィックなオープンストリング頂点代数のベクトル束を構成する。
• このベクトル束の平行切断の層から、$M$ 上のメロモーフィックなオープンストリング頂点代数の層 $\mathcal{V}$ を定義する。
• 共変微分を用いて、滑らかな関数の空間への $\mathcal{V}$ の表現を定義し、左 $\mathcal{V}$-加群の層 $\mathcal{W}$ を得る。
• $V_U$ 内の要素 $g_{\mathbb{C}}^{-1}(-1,-1) \in V_U$ を正規直交フレームの和として特定し、代数内での重要な頂点作用素を表す。
• 正規順序積展開および頂点作用素代数の技術を適用して、$Y_{W_U}(-g_{\mathbb{C}}^{-1}(-1,-1),x)$ の $x^{-2}$ 成分を計算する。
• この成分が、リッチ曲率の縮約 $\sum_i \nabla^2_{E_i,E_i}$ との同一視により、滑らかな関数上でのラプラシアン $\Delta$ として作用することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体から、量子非線形シグマ模型をモデル化するメロモーフィックなオープンストリング頂点代数をどのように構成できるか？
• RQ2 リーマン多様体上のラプラシアンを頂点代数的枠組み内での頂点作用素の成分として実現できるか？
• RQ3 平行テンソル場と共変微分は、滑らかな関数上の頂点代数の表現を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ4 $M$ 上の層の理論的構成が、曲率や接続といった幾何的構造をどのように反映するか？
• RQ5 この幾何的頂点代数的設定における演算子積展開の代数的意味は何か？

主な発見

• ラプラシアン $\Delta$ は、$W_M$ 内の滑らかな関数に作用する頂点作用素 $Y_{W_M}(-g_{\mathbb{C}}^{-1}(-1,-1),x)$ の $x^{-2}$ 成分として実現される。
• $f \in C^\infty(M)$ に作用する際、頂点作用素 $Y_{W_M}(-g_{\mathbb{C}}^{-1}(-1,-1),x)$ の成分が $\Delta f$ に一致することから、ラプラシアンが頂点作用素の成分として同定される。
• この構成により、層 $\mathcal{V}$ から、$V_M$ を $\mathcal{V}$ の全体切断の空間として得る、グローバルなメロモーフィックなオープンストリング頂点代数 $V_M$ が得られる。
• $W_M$ は、左 $V_M$-加群である滑らかな関数の空間として、層 $\mathcal{W}$ の全体切断の空間として構成される。
• 頂点作用素の演算子積展開は、メロモーフィックなオープンストリング頂点代数およびその加群の定義から導かれる。
• $g_{\mathbb{C}}^{-1}(-1,-1)$ が $\sum_i (E_i|_p)(-1)(E_i|_p)(-1)\mathbf{1}$ に同一視されることにより、ラプラシアンに至る頂点作用素の計算が可能になる。