[論文レビュー] Mertens' theorem and prime number theorem for Selberg class

Yoshikatsu Yashiro|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、セルバーグクラスのL関数へメルテンスの第三定理および素数定理を一般化する。ペロンの公式、複素解析、零点非存在領域の推定を活用し、セルバーグクラスにおける素数上のオイラー積の漸近的性質を確立し、積が $ c_{-m} e^{eta m} ( ext{log} x)^m $ のように成長することを示し、誤差項 $ O(e^{-C_F\sqrt{\text{log} x}}) $ を精密化した。また、係数の和関数に対して類似の誤差項を有する対応する素数定理を証明する。

ABSTRACT

In 1874, Mertens proved the approximate formula for partial Euler product for Riemann zeta function at $s=1$, which is called Mertens' theorem. In this paper, we generalize Mertens' theorem for Selberg class and show the prime number theorem for Selberg class.

研究の動機と目的

• リーマンゼータ関数に対して元々成り立つメルテンスの第三定理を、より広いセルバーグクラスのL関数へ拡張すること。
• 拡張されたセルバーグクラス $\mathcal{S}^\#$ に属する関数に対して、古典的な $\zeta(s)$ の結果を一般化した素数定理を確立すること。
• セルバーグクラスにおけるオイラー積および係数の和関数の明示的漸近的公式を導出し、明示的な誤差項を伴うものとすること。
• 零点非存在領域条件 (II) を仮定することで、素数定理における誤差項が、単に素数定理を仮定するよりも改善されることを示すこと。

提案手法

• 関数 $F(s)$ の対数微分と素数および素数の冪に関する和を結びつけるためにペロンの公式を適用する。
• 複素解析およびコーシーの積分定理を用いて、部分的オイラー積の積分表現を評価する。
• $F(s)$ が $\mathcal{S}^\#$ に属する際の関数等式および解析接続の性質を用いて、$s=1$ の近傍における挙動を制御する。
• 零点非存在領域条件 (II) を課すことにより、誤差項を $O(1/\text{log} x)$ から $O(e^{-C_F\sqrt{\text{log} x}})$ に改善する。
• 部分和の技法を用いて、$b_F(p)/p$ に関する和を $b_F(p)\text{log} p / p$ に関する和に変換し、素数定理の導出を可能にする。
• ラマヌジャン予想および $\log F(s) = \sum b_F(n)n^{-s}$ の対数微分展開を用いて、係数の成長を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メルテンスの第三定理（$\prod_{p\leq x} (1 - 1/p)^{-1}$ の漸近的性質を与えるもの）が、セルバーグクラスに属するL関数へ拡張可能か？
• RQ2 $\zeta(s)$ に対する素数定理が、拡張されたセルバーグクラス $\mathcal{S}^\#$ に属する関数へ一般化可能か？ その場合、同様の誤差項が得られるか？
• RQ3 関数 $F \in \mathcal{S}^\#$ に対して、オイラー積 $\prod_{p\leq x} \prod_{j=1}^k (1 - \alpha_j(p)/p)^{-1}$ の正確な漸近的形は何か？ また、誤差項は零点非存在領域にどのように依存するか？
• RQ4 零点非存在領域 (II) を仮定することで、単にPNTを仮定する場合と比較して、素数定理における誤差項はどのように改善されるか？
• RQ5 一般化されたメルテンス定数 $M$ は、係数 $b_F(p^r)$ および留数 $c_{-m}$ を用いて明示的に定義可能か？

主な発見

• セルバーグクラス $\mathcal{S}^\#$ に属する $F$ に対して、一般化されたメルテンスの定理は $\prod_{p\leq x} \prod_{j=1}^k (1 - \alpha_j(p)/p)^{-1} = c_{-m} e^{\gamma m} (\text{log} x)^m (1 + O(e^{-C_F\sqrt{\text{log} x}}))$ と表され、ここで $c_{-m} = \lim_{s\to 1} (s-1)^m F(s)$ である。
• 零点非存在領域条件 (II) を仮定することで、メルテンス型積における誤差項が $O(e^{-C_F\sqrt{\text{log} x}})$ に改善され、これは単に素数定理を仮定する場合の $O(1/\text{log} x)$ よりも強い。
• セルバーグクラスにおける素数定理は $\sum_{n\leq x} b_F(n) \text{log} n = m x + O(x e^{-C_F^{\prime\prime}\sqrt{\text{log} x}})$ として確立され、$C_F^{\prime\prime} < C_F$ である。
• 一般化されたメルテンス定数 $M$ は $\log c_{-m} + m\gamma - \sum_p \sum_{r=2}^\infty \frac{b_F(p^r)}{p^r}$ として明示的に定義され、素数に関する対数和の定数項を制御する。
• 証明により、素数定理における誤差項は零点非存在領域に直接的に依存していることが示された：領域が広いほど、誤差項は小さくなる。
• 結果は、$\zeta_K(s)$ に対する既知の定理を回復・精緻化し、ここで $\alpha_K = \text{Res}_{s=1} \zeta_K(s)$ であり、誤差項は $O(e^{-C_K\sqrt{\text{log} x}})$ である。