[論文レビュー] Metallic maps between metallic Riemannian manifolds and constancy of certain maps

Mehmet Akif Akyol|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、複素的類似条件を課えることで、金属的リーマン多様体間の金属的写像を導入し、その写像が調和的または完全測地的であるための十分条件を確立する。主な貢献は、ほぼ複素構造、ほぼ接触構造、またはパラ接触構造と特定の整合性条件を満たす場合、これらの写像が必ず定数写像であることを示したことである。唯一の臨界的例外は銅の場合（p=1, q=2）である。

ABSTRACT

In this paper, we introduce metallic maps between metallic Riemannian manifolds, provide an example and obtain certain conditions for such maps to be totally geodesic. We also give a sufficient condition for a map between metallic Riemannian manifolds to be harmonic map. Then we investigate the constancy of certain maps between metallic Riemannian manifolds and various manifolds by imposing the holomorphic-like condition. Moreover, we check the reverse case and show that some such maps are constant if there is a condition for this.

研究の動機と目的

• 複素的類似条件を用いて、金属的リーマン多様体間の金属的写像を定義し、その性質を研究すること。
• このような写像が調和的または完全測地的であるための十分条件を確立すること。
• ほぼ複素構造、ほぼ接触構造、またはパラ接触構造を持つ多様体への金属的写像が定数写像となる条件を調査すること。
• このような写像が強制的に定数写像となる条件を特定し、例外的な場合を同定すること。

提案手法

• 写像の微分が金属的構造テンソル場 $J$ と可換であることを要請することで、金属的リーマン多様体間の金属的写像を導入する。
• 金属的構造の定義式 $J^2 = pJ + qI$ を用いる。ここで $p, q$ は正の整数である。
• 多様体 $(M_1, g_1, J_1)$ と $(M_2, g_2, J_2)$ 間で、複素的類似条件 $F_* J_1 = J_2 F_*$ を適用し、整合性関係を導出する。
• 目標多様体の構造方程式を用いて、$F_*(X)$, $F_*(J_1X)$, およびリーブベクトル場 $\xi$ 間の線形従属関係を導出する。
• 構造自己準同型 ($J$, $\phi$, $\phi'$) の繰り返し適用と計量整合性条件を用いて、ベクトル場の恒等式を導出する。
• 得られた方程式系が、$p^2 = (q-1)^2$ のパラ接触の場合を除き、すべての $X$ に対して $F_*(X) = 0$ を強制することを示し、$F$ が定数写像であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 金属的リーマン多様体間の金属的写像が調和的であるのはどのような条件下か？
• RQ2 金属的リーマン多様体間の金属的写像が完全測地的であるのはどのような条件下か？
• RQ3 金属的リーマン多様体からほぼ接触計量多様体への滑らかな写像 $F$ が $F_* J_1 = \phi F_*$ を満たし、非定数のままであるのはいつか？
• RQ4 パrameter $p$ と $q$ は、このような写像の定数性を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 目標多様体がパラ接触計量構造である場合、定数性の結果に例外は存在するか？

主な発見

• 金属的リーマン多様体 $(M_1, g_1, J_1)$ からほぼ複素多様体 $(M', J')$ への滑らかな写像 $F$ が $F_* J_1 = J' F_*$ を満たすならば、$F$ は定数写像である。
• 金属的リーマン多様体 $(M_1, g_1, J_1)$ からほぼ接触計量多様体 $(M, \phi, \xi, \eta, g)$ への滑らかな写像 $F$ が $F_* J_1 = \phi F_*$ を満たすならば、$F$ は定数写像である。
• 金属的リーマン多様体 $(M_1, g_1, J_1)$ からほぼパラ接触計量多様体 $(N', \phi', \xi', \eta', g')$ への滑らかな写像 $F$ が $F_* J_1 = \phi' F_*$ を満たすならば、$p^2 \neq (q-1)^2$ のとき $F$ は定数写像である。
• 定数性の結果に対する例外は $p^2 = (q-1)^2$ のときであり、これには銅の場合（$p=1, q=2$）が含まれる。この場合、非定数写像の存在が可能となる。
• このような写像の定数性は、構造自己準同型の繰り返し適用と計量整合性条件から得られるベクトル場の恒等式系によって導かれる。この系により、$F_*(X) = 0$ がすべての $X$ に対して強制され、写像が定数であることが示される。
• 本稿では、金属的構造における複素的類似条件 $F_* J_1 = J_2 F_*$ が、微分をゼロに収縮させる線形従属関係を生じさせることを示し、写像が定数であることを示している。