[論文レビュー] Metastability for systems of interacting neurons

Eva Löcherbach, Pierre Monmarché|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2020

Neural dynamics and brain function参考文献 22被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、超臨界的シナプス重み h を持つ N 個の相互作用するニューロンからなる系において、不安定な挙動を確立し、平均スパikingレートが N に関して指数的に長い時間にわたり非自明な平衡状態のまわりにとどまることを証明する。カップリングおよび大偏差技法を用いて、平衡状態の近傍からの再スケーリングされた抜出自時刻が N → ∞ のとき法則的に指数分布に収束することを示し、十分に大きな h を持つ飽和スパikingレート関数下でのメタ安定性を確認する。

ABSTRACT

We study a stochastic system of interacting neurons and its metastable properties. The system consists of $N$ neurons, each spiking randomly with rate depending on its membrane potential. At its spiking time, the neuron potential is reset to $0$ and all other neurons receive an additional amount $h/N$ of potential. In between successive spike times, each neuron looses potential at exponential speed. We study this system in the supercritical regime, that is, for sufficiently high values of the synaptic weight $h.$ Under very mild conditions on the spiking rate function, is has been shown in Duarte and Ost \cite{do} that the only invariant distribution of the finite system is the trivial measure $ \delta_{\bf 0}$ corresponding to extinction of the process. Under minimal conditions on the behavior of the spiking rate function in the vicinity of $0$, we prove that the extinction time arrives at exponentially late times in $ N$, and discuss the stability of the equilibrium $\delta_{\bf 0}$ for the non-linear mean-field limit process depending on the parameters of the dynamics. We then specify our study to the case of saturating spiking rates and show that, under suitable conditions on the parameters of the model, 1) the non-linear mean-field limit admits a unique and globally attracting equilibrium and 2) the rescaled exit times for the mean spiking rate of a finite system from a neighbourhood of the non-linear equilibrium rate converge in law to an exponential distribution, as the system size diverges. In other words, the system exhibits a metastable behavior.

研究の動機と目的

• 有限の相互作用ニューロン系におけるメタ安定挙動を形式化し、数学的に証明すること。
• 拡大的状態（大きな h）における長時間ダイナミクスを分析すること、ここで絶滅はほとんど確実であるが遅延される。
• 系サイズ N → ∞ のとき、メタ安定近傍からの再スケーリングされた抜出自時刻が指数分布に収束することを確立すること。
• 非線形平均場極限が一意で、グローバルに吸引的な非自明な平衡を有するための条件を特定すること。
• カップリングおよび大偏差法を用いて、非可逆的かつ双対化不能な系において、メタ安定性の3つの主要要素（速やかな再帰、遅い脱出、速やかな熱平衡化）を厳密に証明すること。

提案手法

• 漏れを持つ膜電位とスパイク誘発シナプス重み h/N を持つ N 個の相互作用ニューロンのための区分的決定的マコフ過程（PDMP）モデルを導入する。
• 同一のジャンプ時刻と初期条件を持つ2つの系間のカップリング技術を用いて、経路的収束および混合時間の分析を行う。
• 全スパイクレートに関する大偏差原理（LDP）を用いて、消滅時間の下界を導出するための簡略化された補助過程 Z^N を用いる。
• 平均場路線からの軌道の逸脱確率を制御するため、特にメタ安定状態付近で大偏差推定を適用する。
• Brassesco, Olivieri, および Vares の枠組みを適応し、3つのメタ安定性の要素（速やかな再帰、遅い脱出、速やかな熱平衡化）の検証を行う。
• 時間分割法と指数モーメントの境界を用いて、カップリング過程における非同期スパイクおよび発散の確率を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパイクレート関数 λ がどのような条件下で、有限系が指数的長寿命を示すメタ安定挙動を示すか？
• RQ2 N → ∞ のとき、非自明な平衡の近傍からの再スケーリングされた抜出自時刻が分布的に指数分布に収束するか？
• RQ3 非線形平均場極限において、一意でグローバルに吸引的な非自明な不変測度が存在するための条件は何か？
• RQ4 カップリング技法および大偏差推定が、この非可逆的かつ双対化不能な系において、メタ安定性の3つの核心的要素をどのように確立するか？
• RQ5 拡大的状態における消滅時間の正確なスケーリングは何か？また、シナプス重み h および微分係数 λ′(0) にどのように依存するか？

主な発見

• λ′(0)h > α を満たす飽和スパイクレート関数に対して、非線形平均場極限は一意でグローバルに吸引的な非自明な平衡を有する。
• N → ∞ のとき、非自明な平衡の近傍からの平均スパイクレートの再スケーリングされた抜出自時刻は法則的に指数分布に収束する。
• 有限系の消滅時間は N に関して指数的に大きくなる。λ′(0)h が十分に大きいとき、P(消滅時間 > e^{cN}) → 1 を満たす c > 0 が存在する。
• カップリング過程 (U^N, ˜U^N) は、ζ ∈ (0,1] に対して P(U^N(Nζ) ≠ ˜U^N(Nζ)) ≤ Ce^{-θNζ} を満たし、スケール Nζ での速やかな熱平衡化を確認する。
• 系はメタ安定近傍への速やかな再帰と、そこからの遅い脱出を示し、脱出時間は N に関して指数的に大きくなるため、メタ安定状態が確認される。
• カップリングおよび大偏差推定を用いて、抜出自時刻の指数分布への収束が確立され、メタ安定状態からの逸脱確率に対する明示的な指数的尾部境界が得られる。