[論文レビュー] Metastability of finite state Markov chains: a recursive procedure to identify slow variables for model reduction

Cláudio Landim, Tengfei Xu|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2015

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限状態の連続時間マーカフチェーンにおける遅い変数を特定する再帰的アルゴリズムを提示する。この手法は、状態空間の次第に粗い分割とそれに対応する時間スケールの階層を構築することで、各分割における射影された力学の収束がマーカフ過程に一致することを保証する。これにより、メタ安定的挙動を保持したまま効果的なモデル還元が可能となり、対数的レート比条件の下で収束が証明される。

ABSTRACT

Consider a sequence $(η^N(t) :t\ge 0)$ of continuous-time, irreducible Markov chains evolving on a fixed finite set $E$, indexed by a parameter $N$. Denote by $R_N(η,ξ)$ the jump rates of the Markov chain $η^N_t$, and assume that for any pair of bonds $(η,ξ)$, $(η',ξ')$ $\arctan \{R_N(η,ξ)/R_N(η',ξ')\}$ converges as $N\uparrow\infty$. Under a hypothesis slightly more restrictive (cf. \eqref{mhyp} below), we present a recursive procedure which provides a sequence of increasing time-scales $θ^1_N, \dots, θ^{\mf p}_N$, $θ^j_N \ll θ^{j+1}_N$, and of coarsening partitions $\{\ms E^j_1, \dots, \ms E^j_{\mf n_j}, Δ^j\}$, $1\le j\le \mf p$, of the set $E$. Let $ϕ_j: E o \{0,1, \dots, \mf n_j\}$ be the projection defined by $ ϕ_j(η) = \sum_{x=1}^{\mf n_j} x \, \mb 1\{η\in \ms E^j_x\}$. For each $1\le j\le \mf p$, we prove that the hidden Markov chain $X^j_N(t) = ϕ_j(η^N(tθ^j_N))$ converges to a Markov chain on $\{1, \dots, \mf n_j\}$.

研究の動機と目的

• 有限状態の連続時間マーカフチェーンにおける遅い変数を系統的に特定する手法を開発すること。
• 状態空間の次第に粗い分割の階層を構築し、それぞれに特徴的な時間スケールを関連付けること。
• 各分割における射影チェーンの力学が、対応する時間スケールにおいてマーカフ過程に収束することを保証すること。
• 状態空間の逐次的粗化を通じてメタ安定構造を明らかにする再帰的フレームワークを提供すること。
• 分離集合 Δj に費やす時間が極限において無視可能になる条件を形式化すること。

提案手法

• この手法は再帰的に時間スケール θjN と分割 {Ej1,…,Ejnj,Δj} (j=1,…,p) を構築し、粗さが増し、Δj も増大する。
• arctan(RN(η,ξ)/RN(η′,ξ′)) が N→∞ で収束することを仮定し、これにより対数的レート比が安定化することを保証する。
• 各レベル j において、φj(η)=∑x=1nj x⋅1{η∈Ejx} で定義される射影 φj が、時間スケール θjN で進む遅い変数を表す。
• XjN(t)=φj(ηN(tθjN)) が {1,…,nj} 上の連続時間非可約マーカフチェーンにスコロホド位相で収束することを証明する。
• 部分集合 F⊂E におけるトレース過程 ηFt を用いて到達時間と再帰性を分析し、Δj における時間の無視可能性を保証する。
• 主な技術的ツールには、強マーカフ性、トレース過程のエルゴード性、およびスケーリングされた到達時間の指数分布への収束が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限状態の連続時間マーカフチェーンにおいて、メタ安定的挙動を示す遅い変数を系統的に特定する方法は何か？
• RQ2 粗化された分割における力学が複数の時間スケールにわたりマーカフ過程に収束するよう保証する再帰的手順は何か？
• RQ3 時間スケール θjN において、分離集合 Δj に費やす時間が漸近的に無視可能になる条件は何か？
• RQ4 各レベルがより粗いが依然としてマーカフ的である有効力学を明らかにするように、分割と時間スケールの階層をどのように構築すればよいか？
• RQ5 チェーンが谷内のすべての状態を訪問した後に別の谷に遷移するという条件を満たす数学的条件は何か？

主な発見

• XjN(t)=φj(ηN(tθjN)) は、N→∞ のとき、{1,…,nj} 上の連続時間非可約マーカフチェーンに法的に収束する。
• 時間スケールの階層は θjN≪θj+1N を満たし、連続する粗化レベル間で時間スケールの分離が保証される。
• Δj は j と共に増大し、θjN 時間スケールにおける Δj に費やす時間は極限で消える。これは条件 (H3) で形式化されている。
• Ejx に属する初期状態に対して、他の Ejy の集合への到達時間は、θjN 時間スケールにおいて漸近的に指数分布に従う。
• 確率が 1 に近づく範囲で、チェーンは他の Ejy に遷移する前に、Ejx 内のすべての状態を訪問する。これにより各谷内の内部エルゴード性が確認される。
• 再帰的構成により、各レベル j がより小さな状態空間上で有効で漸近的にマーカフ的となる還元モデルを生成することが保証される。